Koordinatensystem

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Koordinatensysteme dienen dazu, die Lage eines Punktes in Bezug auf einen sogenannten Nullpunkt zu beschreiben. Es gibt sie für verschiedene Dimensionen. Es gibt sie für Flächen (zweidimensional), Räume (dreidimensional) oder mehr Dimensionen. Es dient meistens zur eindeutigen Bezeichnung der Position von Punkten und Objekten in einem geometrischen Raum, aber es ist nicht erforderlich, dass es sich bei allen Dimensionen um Längen handelt. Auch die Zeit kann eine Dimension darstellen, wenn es um Bewegungen geht.

Koordinate[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

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Die Felder des Schachbretts werden mit einem Zahlen-Buchstaben-Paar bezeichnet.

Jede Dimension des Koordinatensystems ist ein eigener Freiheitsgrad, was für die eindeutige Beschreibung der eines Punkts eine weitere Angabe – eine Koordinate – erfordert. Wird ein Ort durch zwei Koordinaten beschrieben, beispielsweise auf der Landkarte, spricht man von einem „Koordinatenpaar“.

Der Fachbegriff der Koordinate – in der Bedeutung „Lageangabe“ – wurde im 18. Jahrhundert aus dem Wort Ordinate (Senkrechte) gebildet.[1]

Die Position eines Punktes kann in verschiedenen Koordinatensystemen dargestellt werden. Je nach verwendetem Koordinatensystem hat derselbe Punkt unterschiedliche Koordinatenwerte.

Koordinaten sind nicht immer kontinuierlich und die Wertemenge damit die reellen Zahlen oder ein Teil davon. vielmehr ist der Begriff weiter zu fassen. Jede Wertemenge mit einer Ordnungsrelation kann als Koordinate dienen. So werden z. B. die Felder des Schachbretts mit einem Koordinatenpaar, bestehend aus einer natürlichen Zahl und einem Buchstaben, bezeichnet.

Verwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Koordinatensysteme sind Hilfsmittel der Mathematik zur Positionsangabe. Sie werden in vielen Wissenschaften und in der Technik verwendet. Auch im Alltag werden Koordinatensysteme häufig verwendet:

Typisierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Arten von zweidimensionalen Koordinatensystemen, jeweils mit dem Punkt P=(3;2). a) geradlinige schiefwinklige b) geradlinige orthogonale c) krummlinige orthogonale d) krummlinige

Zur Unterscheidung von Koordinatensystemen werden folgende Kriterien angewendet:

  • Die Dimension (Ebene, Raum, höherdimensional)
  • Form der Achsen.
  • Lage der Achsen zueinander.

Man unterscheidet zwischen geradlinigen (affinen) und krummlinigen Koordinatensystemen. Wenn außerdem Koordinatenlinien in jedem Punkt senkrecht aufeinander stehen, nennt man solche Koordinatensysteme orthogonal.

Beim geradlinige Koordinatensystem verlaufen alle Achsen auf Geraden. Am bekanntesten sind hierbei das zwei- und dreidimensionale, orthogonale kartesische Koordinatensystem. Liegen die Achsen nicht senkrecht zueinander, so nennt sich das schiefwinkliges Koordinatensystem. Es findet unter anderem in der Kristallographie Anwendung, wobei die Achsen an Kristallkanten ausgerichtet werden. Bei der dann zum Beispiel zur Bestimmung der Lage einzelner Moleküle/Atome im Raum ein normales dreidimensionales Koordinatensystem benutzt wird um dann die Winkel der sich formierenden Kristalle in einem schiefwinkligen System abzubilden.[2][3]

Die mit Abstand häufigsten krummlinigen Koordinatensysteme sind solche mit einem Kreis als "Achse" und einem Winkel als dazugehörige Koordinate. Bekannteste Vertreter sind in der Ebene das polare Koordinatensystem und im Raum die Systeme der Zylinder- und Kugelkoordinaten. Aufgrund der zueinander senkrechten Achsen (Radius und Kreislinie, bzw. zueinander senkrechte Großkreise) sind sie orthogonal. Weitere Systeme sind elliptische Koordinaten und Toruskoordinaten.

Auch Koordinatensysteme, welche sich nicht in der Ebene, sondern auf der Oberfläche eines Körpers befinden, sind zweidimensional. Hier ist besonders das sphärische Koordinatensystem auf einer Kugeloberfläche zu nennen.

Für jede geradlinige Achse benötigt man eine Streckenangabe und für jeden Kreis einen Winkel als Koordinatenwert.

Koordinatenursprung, Pol[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Koordinatenursprung (mathematisches Kürzel: KOU) oder Ursprung bezeichnet den Punkt in einem Koordinatensystem oder einer Karte, an dem alle Koordinaten den Wert Null annehmen. Er wird auch Nullpunkt oder bei Polarkoordinaten Pol genannt.

Durch den Ursprung verlaufen häufig, aber nicht zwingend die Koordinatenachsen (siehe auch: Achsenbeschriftung). Bei geographischen Koordinatensystemen entsprechen zum Beispiel Äquator und Nullmeridian den Koordinatenachsen.

Koordinaten, welche Winkel darstellen, sind im Koordinatenursprung mathem. nicht definiert, weil hier formal eine Division auftaucht.

Mathematische Grundlagen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Position eines Punktes im Raum wird im gewählten Koordinatensystem durch die Angabe von Zahlenwerten oder Größenwerten, den Koordinaten, eindeutig bestimmt. Entsprechend lässt sich die Position eines durch mehrere Punkte bestimmten Objekts (Linie, Kurve, Fläche, Körper) über deren Koordinaten angeben.

Die Anzahl der zur Beschreibung notwendigen Werte ist die Dimension des Raumes. In diesem Sinne bezeichnet man eine Ebene als zweidimensionalen Raum. Man fasst die Koordinaten eines n‑dimensionalen Raumes dann auch als nTupel von reellen Werten (allgemeiner: von Elementen des zugrundeliegenden Körpers) auf.

Die am häufigsten verwendeten Koordinatensysteme – dies gilt besonders für die Schulmathematik – sind das kartesische Koordinatensystem, allgemeiner das affine Koordinatensystem sowie die Polarkoordinatensysteme.

In projektiven Räumen wird ein Punkt durch seine Koordinaten in Bezug auf ein projektives Koordinatensystem dargestellt. Diese Koordinaten werden auch als homogene Koordinaten bezeichnet und werden in dieser Form auch für „gewöhnliche“ Punkte verwendet, die auch mit affinen bzw. kartesischen Koordinaten beschrieben werden könnten. Hier ist eine zusätzliche „homogenisierende“ Koordinate erforderlich, ein Punkt in einem n-dimensionalen Raum wird also durch homogene Koordinaten beschrieben.

Kugel und Ebene im Raum[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei symmetrischen Systemen, bei denen eine Dimension überall gleich ist, kann man durch Darstellung in einem geeigneten Koordinatensystem erreichen, dass einzelne Koordinaten konstant bleiben. Zum Beispiel genügt zur Festlegung einer Position auf der Erdoberfläche die Angabe von lediglich zwei Koordinaten (Längengrad und Breitengrad), denn die dritte Koordinate ist durch den Erdradius festgelegt. Wenn hingegen zusätzlich die Höhe eines Punktes beschrieben werden soll, muss diese als dritte Koordinate zusätzlich erfasst werden. Dafür wird zusätzlich eine Höhenbezugsfläche benötigt.

Runde Körper, beispielsweise (näherungsweise) die Erde oder andere Himmelskörper, werden durch sphärische Polarkoordinaten (Kugelkoordinaten) beschrieben. (Besonderheit: Koordinatensingularität)

Eine Ebene im Raum wird mit kartesischen Koordinaten beschrieben: zwei Koordinaten sind variabel, die dritte ist (ohne Beschränkung der Allgemeinheit) durch den Abstand der Ebene vom Koordinatenursprung festgelegt.

Transformationen zwischen Koordinatensystemen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Transformation zwischen unterschiedlichen Koordinatensystemen erfolgt durch Koordinatentransformation. Die unterschiedlichen Zahlenwerte der n-Tupel beschreiben dieselbe Position im Raum. Beim Übergang von geradlinigen (affinen) Koordinaten zu krummlinigen Koordinaten ist zur Berechnung von Größen wie Volumen die Funktionaldeterminante (Jacobi-Determinante) anzuwenden.

Spezielle Koordinatensysteme[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der uns umgebende Raum wird in Mathematik und Physik häufig als dreidimensionaler euklidischer Raum modelliert. Wenn für diesen Raum das newtonsche Trägheitsgesetz der klassischen Physik gilt, spricht man von einem Inertialsystem.

Oft kann eine Raumdimension vernachlässigt werden, so dass nur ein zweidimensionaler Raum zu betrachten ist. Unter Einbeziehung der Zeit entsteht der vierdimensionale Minkowski-Raum der Relativitätstheorie.

Diese Räume lassen sich durch kartesische Koordinaten beschreiben, das sind affine (geradlinige) Koordinaten, die entlang senkrecht aufeinander stehender Achsen gemessen werden.

Bei der Beschreibung in Polarkoordinaten werden der Abstand von einem festgelegten Koordinatenursprung und Winkel zu gegebenen Achsen als Koordinaten verwendet. Auch hier stehen die Koordinatenachsen senkrecht aufeinander.

Andere Koordinatensysteme werden in Bezug auf geometrische Objekte (Zylinder, Kegelschnitt) definiert: Zylinderkoordinaten, hyperbolische Koordinaten.

Einige nur in Fachgebieten (z. B. Geodäsie, Kartografie, Geographie, Fernerkundung, Astronomie, Amateurfunk) gebräuchliche Koordinatensysteme sind:

Basisvektoren im Koordinatensystem[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für Koordinatensysteme kommt dem Begriff "Basisvektor" eine etwas andere Bedeutung als für die Basisvektor eines Vektorräume zu. Ein Basisvektor (für einen beliebigen Punkt) ist dann ein Vektor, der tangential zu einer bestimmten Koordinatenlinie an diesem Punkt verläuft. Daraus folgt, dass Basisvektoren im Koordinatensystem eine Basis im Koordinatensystem bilden, die im Allgemeinen von der Basis eines Vektorraums zu unterscheiden ist.

Besonders bei krummlinigen Koordinaten wird dabei zwischen lokaler Basis und globaler Basis unterschieden. (Siehe Abschnitt "Verschiedene Basen" im Artikel "Krummlinige Koordinaten".) Eine globale Basis existiert, wenn jeder Punkt dieselben Basisvektoren besitzt, was z. B. bei kartesischen Koordinaten der Fall ist. Ansonsten hat jeder Punkt seine eigene Basisvektoren, die die lokale Basis dieses Punktes bilden.

Eine Basis in einem endlichdimensionalen Vektorraum kann jedoch als globale Basis eines Koordinatensystems aufgefasst werden. Beispielsweise bilden die Basisvektoren eines euklidischen Vektorraums die Basis eines kartesischen Koordinatensystems.[4]

Möchte man ein anderes Koordinatensystem verwenden, so muss man eine Koordinatentransformation durchführen, wovon die lineare Transformation eine spezielle Art ist. Sie hat die Eigenschaft, dass sie sich als lineare Abbildung bzw. als Matrix darstellen lässt.

Rechts- und linkshändige Koordinatensysteme[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Links- und rechtshändiges (rechts) dreidimensionales Koordinatensystem

Ein Koordinatensystem wird nicht nur durch die Norm, also die Länge „1“, die Grad- oder Krummlinigkeit der Hauptachsen, also der Koordinatenachsen und die Winkel zwischen den Koordinatenachsen unterschieden, sondern auch durch die Orientierung und den Drehsinn des Koordinatensystems. Beide Eigenschaften beschreiben gemeinsam den Zusammenhang der Koordinatenachsen bei rotatorischer Transformation einer Achse in eine andere.

Man unterscheidet zwischen rechts- und linkshändigen Koordinatensystemen, wobei rechtshändige Koordinatensysteme vereinbarungsgemäß einen mathematisch positiven Drehsinn besitzen. Zur Überprüfung, ob ein dreidimensionales kartesisches Koordinatensystem die hierzu übliche rechtshändige Achsenorientierung einhält, verwendet man die sogenannte Drei-Finger-Regel der rechten Hand.

Besser und eindeutig ist die Definition über den Rechtsschraubensinn: Die erste Koordinate wird auf kürzestem Weg in die zweite geschwenkt. Im rechtshändigen Koordinatensystem ergibt sich dann die positive Richtung der dritten Koordinate aus der Bewegungsrichtung einer Rechtsschraube.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wiktionary: Koordinate – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
Wiktionary: Koordinatensystem – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Etymologie nach Kluge Etymologisches Wörterbuch der deutschen Sprache, 24. Auflage, 2002.
  2. https://de.m.wikipedia.org/wiki/Natriumchlorid-Struktur
  3. http://www.chemgapedia.de/vsengine/vlu/vsc/de/ma/1/mc/ma_11/ma_11_03/ma_11_03_04.vlu.html
  4. Torsten Fließbach: Mechanik. Lehrbuch zur theoretischen Physik I. 7. Auflage. Springer Spektrum, Berlin / Heidelberg 2015, ISBN 978-3-642-55432-2, S. 5.