Koprodukt

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Im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie ist der Begriff des Koproduktes eine Verallgemeinerung der sogenannten disjunkten Vereinigung von Mengen. Es ist der duale Begriff zum Produkt.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Diagramm zum Koprodukt

Sind Objekte einer Kategorie , so heißt ein Objekt zusammen mit Morphismen Koprodukt der , geschrieben

,

falls die folgende universelle Eigenschaft erfüllt ist:

Für jedes Objekt von und Morphismen gibt es genau einen Morphismus , so dass für alle gilt.

Äquivalent dazu kann man fordern, dass

gilt; dabei vermitteln die die natürliche Äquivalenz.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kategorie Koprodukt
Mengen disjunkte Vereinigung
Gruppen freies Produkt
Vektorräume direkte Summe
abelsche Gruppen
Moduln über einem Ring
topologische Räume disjunkte Vereinigung mit der offensichtlichen Topologie
punktierte topologische Räume Wedge-Produkt
kommutative Ringe mit Einselement Tensorprodukt
Banachräume (mit linearen Kontraktionen als Morphismen) Abzählbare Linearkombinationen mit , das heißt absolut summablen, Koeffizienten, mit der gewichteten Summe der Normen als Norm
Partielle Ordnung Supremum