Korrespondenz (Mathematik)

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In der Mathematik ist der Begriff der Korrespondenz eine Präzisierung des in der älteren mathematischen Literatur häufiger anzutreffenden Begriffs der mehrwertigen Funktion oder Multifunktion. Während eine Funktion im üblichen Sinn jedem Element der Definitionsmenge ein einziges Element der Zielmenge als Funktionswert zuordnet, können bei einer mehrwertigen Funktion einem Element der Definitionsmenge mehrere Elemente der Zielmenge zugeordnet werden. Beim Begriff der Korrespondenz werden diese mehreren Funktionswerte zu einer Menge (also einer Teilmenge der Zielmenge) zusammengefasst. Eine Korrespondenz von einer Menge in eine Menge ist somit eine Funktion, die jedem Element von eine Teilmenge von zuordnet.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Korrespondenz von einer Menge in eine Menge ist eine Abbildung von in die Potenzmenge von .

Notation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Korrespondenz von nach wird geschrieben als:

bzw.

Korrespondenzen als Relation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Korrespondenz von nach kann mit der Relation identifiziert werden, denn aus der Relation erhält man durch die Definition wieder die Korrespondenz zurück.

Demnach sind Relation und Korrespondenz äquivalente Begriffe, bei der Korrespondenz steht aber die Interpretation als Abbildung einer Menge in die Potenzmenge einer zweiten im Vordergrund.

Eigenschaften von Korrespondenzen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sind und topologische Räume, so lassen sich interessante Eigenschaften von Korrespondenzen zwischen und definieren.

Man nennt abgeschlossen (offen), wenn die zugehörige Relation im Produktraum abgeschlossen (offen) ist.

Ein Fixpunkt einer Korrespondenz von nach ist ein Punkt mit .

Der folgende, nicht-konstruktive Existenzsatz von Shizuo Kakutani sichert die Existenz von Fixpunkten.

Fixpunktsatz von Kakutani[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Formulierung des Satzes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei nicht leer, konvex und kompakt, und sei eine abgeschlossene Korrespondenz von nach derart, dass für jedes konvex und nicht leer ist. Dann besitzt einen Fixpunkt.

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Dieser Fixpunktsatz verallgemeinert den brouwerschen Fixpunktsatz, denn eine Abbildung kann man als Korrespondenz mit auffassen, und ein Fixpunkt von ist ein Fixpunkt von .

In der mathematischen Wirtschaftstheorie führt dieser Satz zu interessanten Existenzsätzen über Gleichgewichtspreise. In der mathematischen Spieltheorie hat John Nash diesen Satz verwendet, um die Existenz von Gleichgewichtspunkten in gewissen kooperativen Zweipersonenspielen zu zeigen (siehe Nash-Gleichgewicht).

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Heinz König, Michael Neumann: Mathematische Wirtschaftstheorie. Verlag Anton Hain Meisenheim GmbH (1986)
  • Burkhard Rauhut, Norbert Schmitz, Ernst-Wilhelm Zachow: Eine Einführung in die mathematische Theorie strategischer Spiele. Teubner Studienbücher (1979)
  • Heuser: Lehrbuch der Analysis - Teil 2. 5-te Auflage, Teubner 1990, ISBN 3-519-42222-0, S.609