Kotangentialraum

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In der Differentialgeometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist der Kotangentialraum ein Vektorraum, der einem Punkt einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M zugeordnet wird. Es ist der Dualraum des entsprechenden Tangentialraums.

Definition[Bearbeiten]

Sei M eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und T_pM sein Tangentialraum am Punkt p \in M. Dann ist der Kotangentialraum definiert als der Dualraum von T_pM. Das heißt, der Kotangentialraum besteht aus allen Linearformen auf dem Tangentialraum T_pM.

Alternative Definition[Bearbeiten]

Im Folgenden wird ein anderer Zugang dargestellt, bei dem der Dualraum direkt definiert wird, ohne Bezugnahme auf den Tangentialraum.

Es sei M eine n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit. Weiter seien \Gamma_p die Menge aller glatten Kurven durch p\in M

c\colon (-\epsilon,\epsilon)\to M\,,\qquad c(0)=p

und C^\infty_p die Menge aller glatten Funktionen, die in einer Umgebung U_p von p definiert sind:

f:U_p\to\R.

Bezeichnet man mit \sim_p folgende Äquivalenzrelation auf C_p^\infty

f\sim_p g\qquad:\Leftrightarrow\qquad \exists U_p Umgebung von p mit f|U_p = g|U_p,

dann ist der Faktorraum \mathcal{F}_p:=C^\infty_p/\sim_p der Vektorraum der Keime über p. Über

\langle [f]_p,c\rangle:=\frac{\operatorname d}{\operatorname{d}t}\Big|_{t=0}f\circ c(t)

wird dann eine formale Paarung \langle\cdot,\cdot\rangle:\mathcal{F}_p\times\Gamma_p\to\R definiert, die in der ersten Komponente linear ist. Nun ist

\mathcal{N}_p:=\{[n]_p\in\mathcal{F}_p|\forall c\in\Gamma_p:\langle[n]_p,c\rangle=0\}

ein linearer Unterraum von \mathcal F_p, genauer gesagt der Nullraum bzgl. \langle\cdot,\cdot\rangle und

T^*_pM:=\mathcal{F}_p/\mathcal{N}_p

ist der n-dimensionale Kotangentialraum im Punkt p\in M. Für den Kotangentialvektor [[f]_p] schreibt man auch df_p.

Zusammenhang zum Tangentialraum[Bearbeiten]

Mit der obigen Definition kann man auf \Gamma_p eine Äquivalenzrelation \sim wie folgt definieren:

\gamma_1\sim\gamma_2\qquad\Leftrightarrow\qquad
\forall df_p\in T^*_pM:\langle df_p,\gamma_1\rangle=\langle df_p,\gamma_2\rangle

Der Faktorraum T_pM:=\Gamma_p/\sim beschreibt gerade den n-dimensionalen Tangentialraum.

Bilden nun dx_1,\ldots,dx_n eine Basis von T^*_pM, so kann man zu jedem Basisvektor einen Repräsentanten x_i\in C_p^\infty auswählen. x=(x_1,\ldots,x_n):M\to\R^n ist eine differenzierbare Karte und für jedes i=1,\ldots,n kann man eine Kurve

\begin{matrix}
\gamma_i\colon&(-\epsilon;\epsilon)&\to& M\\
         &t                  &\mapsto& x^{-1}(t\cdot e_i)
\end{matrix}

definieren, wobei e_i der i-te Einheitsvektor im \R^n ist. Wegen

\langle dx_i,[\gamma_j]\rangle=\delta_{ij}

sind T_pM und T^*_pM dual zueinander und man schreibt für [\gamma_i]={dx_i}^* auch \tfrac\partial{\partial x_i}.

Rechtfertigung der Schreibweisen[Bearbeiten]

Sei M=\R^n, p\in\R^n, f:\R^n\to\R eine beliebige Funktion und für i=1,\ldots,n die Kurven \gamma_i\colon t\mapsto p+t\cdot e_i, wobei e_i die kanonischen Basisvektoren sind. Dann ist in den obigen Schreibweisen:

\langle [f]_p,[\gamma_i]\rangle=\frac{\operatorname d}{\operatorname{d}t}\Big|_{t=0}f\circ\gamma_i=
\lim_{h\to0}\frac{f(p+h\cdot e_i)-f(p)}{h}=\frac\partial{\partial x_i}f(p)

Somit ist die Schreibweise [\gamma_i]=\tfrac\partial{\partial x_i} gerechtfertigt.

Weiter ist mit T_pM=\R^n die lineare Abbildung \langle [[f]_p],\cdot\rangle:T_pM\to\R gerade das totale Differential df(p). Somit ist also auch die Schreibweise [[f]_p]=df_p gerechtfertigt.

Literatur[Bearbeiten]

  • John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 218). Springer-Verlag, New York NY u. a. 2003, ISBN 0-387-95448-1.
  • R. Abraham, Jerrold E. Marsden, T. Ratiu: Manifolds, tensor analysis, and applications (= Applied mathematical sciences 75). 2. Auflage. Springer, New York NY u. a. 1988, ISBN 0-387-96790-7.