Kotangentialraum

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In der Differentialgeometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist der Kotangentialraum ein Vektorraum, der einem Punkt einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit zugeordnet wird. Es ist der Dualraum des entsprechenden Tangentialraums.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und sein Tangentialraum am Punkt . Dann ist der Kotangentialraum definiert als der Dualraum von . Das heißt, der Kotangentialraum besteht aus allen Linearformen auf dem Tangentialraum .

Alternative Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Folgenden wird ein anderer Zugang dargestellt, bei dem der Dualraum direkt definiert wird, ohne Bezugnahme auf den Tangentialraum.

Es sei eine -dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit. Weiter seien die Menge aller glatten Kurven durch

und die Menge aller glatten Funktionen, die in einer Umgebung von definiert sind:

.

Bezeichnet man mit folgende Äquivalenzrelation auf

Umgebung von mit ,

dann ist der Faktorraum der Vektorraum der Keime über . Über

wird dann eine formale Paarung definiert, die in der ersten Komponente linear ist. Nun ist

ein linearer Unterraum von , genauer gesagt der Nullraum bzgl. und

ist der -dimensionale Kotangentialraum im Punkt . Für den Kotangentialvektor schreibt man auch .

Zusammenhang zum Tangentialraum[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit der obigen Definition kann man auf eine Äquivalenzrelation wie folgt definieren:

Der Faktorraum beschreibt gerade den -dimensionalen Tangentialraum.

Bilden nun eine Basis von , so kann man zu jedem Basisvektor einen Repräsentanten auswählen. ist eine differenzierbare Karte und für jedes kann man eine Kurve

definieren, wobei der -te Einheitsvektor im ist. Wegen

sind und dual zueinander und man schreibt für auch .

Rechtfertigung der Schreibweisen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei , , eine beliebige Funktion und für die Kurven , wobei die kanonischen Basisvektoren sind. Dann ist in den obigen Schreibweisen:

Somit ist die Schreibweise gerechtfertigt.

Weiter ist mit die lineare Abbildung gerade das totale Differential . Somit ist also auch die Schreibweise gerechtfertigt.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 218). Springer-Verlag, New York NY u. a. 2003, ISBN 0-387-95448-1.
  • R. Abraham, Jerrold E. Marsden, T. Ratiu: Manifolds, tensor analysis, and applications (= Applied mathematical sciences 75). 2. Auflage. Springer, New York NY u. a. 1988, ISBN 0-387-96790-7.