Kovarianzfunktion

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Die Kovarianzfunktion ist in der Theorie der stochastischen Prozesse, einem Teilgebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie, eine spezielle reellwertige Funktion, die einem stochastischen Prozess zugeordnet wird. Ihre Bedeutung erlangt die Kovarianzfunktion dadurch, dass sich eine bestimmte Klasse von stochastischen Prozessen eindeutig durch ihre Kovarianzfunktion charakterisieren lässt. Kovarianzfunktionen finden sich häufig im Umfeld des Wiener-Prozesses und verwandten Konstruktionen.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben sei ein stochastischer Prozess mit Indexmenge . Dann heißt die Funktion

definiert durch

die Kovarianzfunktion des stochastischen Prozesses . Dabei bezeichnet die Kovarianz der Zufallsvariablen und . ist der Erwartungswert.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben sei ein Wiener-Prozess . Ist o.B.d.A. , so ist

Da der Wiener Prozess aber ein Prozess mit unabhängigen Zuwächsen ist, gilt und somit

da der Prozess normalverteilte Zuwächse hat. Somit gilt für den Wiener-Prozess

.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jeder Gauß-Prozess , der zentriert ist in dem Sinne, dass für alle gilt, wird durch seine Kovarianzfunktion eindeutig bestimmt. Denn sind gegeben, so lässt sich die Verteilung des Prozesses zu diesen Zeitpunkten wie folgt bestimmen: Da der Prozess zu diesen Zeitpunkten mehrdimensional normalverteilt ist und eine mehrdimensionale Normalverteilung eindeutig durch ihren Erwartungswertvektor und die Kovarianzmatrix bestimmt ist, genügt es aufgrund der Zentriertheit die Kovarianzmatrix zu bestimmen. Diese ist aber durch die Kovarianzfunktion gegeben: Der Eintrag in der i-ten Zeile und der j-ten Spalte ist genau .

Dieses Vorgehen ist für beliebige und alle durchführbar. Die so gewonnenen Verteilungen bilden dann eine projektive Familie und bestimmen somit nach dem Erweiterungssatz von Kolmogorov die Verteilung des Prozesses eindeutig.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]