Krümmungskreis

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Krümmungskreis einer Kurve C im Punkt P

Der Krümmungskreis (auch Schmiegekreis oder Schmiegkreis genannt) zu einem bestimmten Punkt einer ebenen Kurve ist der Kreis, der die Kurve in diesem Punkt am besten annähert. Den Mittelpunkt des Krümmungskreises nennt man Krümmungsmittelpunkt.

Sein Radius, der Krümmungsradius, ist der Betrag des Kehrwerts der Krümmung der Kurve in . Seine Tangente in diesem Punkt stimmt mit der Tangente der Kurve überein.

Da die Krümmung einer Kurve im Allgemeinen örtlich variiert, schmiegt sich die Kurve im Allgemeinen nur in einer infinitesimal kleinen Umgebung an den Krümmungskreis an.

Hinweis: Die Beispielzeichnungen legen nahe, dass der Krümmungskreis stets auf einer Seite der Kurve liegt. Dies ist jedoch nur dann der Fall, wenn die Krümmung der Kurve an dem entsprechenden Punkt ein Extremum hat. Da die Krümmung des Krümmungskreises selbst konstant ist, verläuft eine Kurve mit sich ändernder Krümmung in der Regel auf einer Seite des Berührpunktes innerhalb, auf der anderen außerhalb ihres Krümmungskreises.

Bestimmung des Krümmungskreises[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Mittelpunkt des Krümmungskreises ist die Grenzlage des Schnittpunktes der Normalen der Kurve, wenn die Kurvenpunkte der Normalen aufeinander zustreben:

t1, t2,... sind die Tangenten, n1, n2,... sind die Normalen in den Punkten P1, P2,... Die Punkte P1, P2,... nähern sich dem Scheitelpunkt S. Die Schnittpunkte K1, K2,... nähern sich dem Krümmungsmittelpunkt K

Ist die Kurve in der Parameterdarstellung gegeben, so ist sein Radius, der Krümmungsradius, gegeben durch

(1) .

Der Mittelpunkt des Krümmungskreises hat dann die Koordinaten

Dabei muss der Betrag des Radius zur Bestimmung des Mittelpunktes weggelassen werden, damit der Krümmungskreis auf der richtigen Seite der Kurve liegt! Also

(2) und
(3) .

Der Weg, den die Krümmungskreismittelpunkte beschreiben, bezeichnet man als Evolute der Kurve.

Krümmungsradius eines Funktionsgraphen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Auch für den Graphen einer Funktion lässt sich ein Krümmungsradius angeben. Unter der Krümmung der Funktion an der Stelle versteht man die Krümmung des Graphen der Funktion im Punkte . Mit der Transformation und wird die Funktion in eine Parameterdarstellung überführt und es ist:

.

Die Ableitungen lauten:

  und   .

Damit gilt für den Krümmungsradius einer Funktion an der Stelle der Funktion nach Einsetzen in (1):

(4)     .

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kreis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Animation der Krümmung bei einem Kreis vom Radius 2, im Uhrzeigersinn durchlaufen

Die Parameterdarstellung eines Kreises lautet:

Die Ableitungen betragen:

;  
;  

Eingesetzt in (1) folgt für den Krümmungsradius eines Einheits-Kreises mit dem Radius von Eins:

Der Krümmungsradius eines Kreises ist konstant und ist so groß wie sein Radius, r=1.

Die nebenstehende Animation zeigt den Kreis vom Radius 2, mit konstanter Geschwindigkeit 1 im Uhrzeigersinn durchlaufen. Er hat Parameterdarstellung

und konstante Krümmung gleich . Sein Krümmungsradius ist konstant gleich 2, das heißt gleich seinem Radius. (Der "Beschleunigungsvektor" in dieser Animation ist die zweite Ableitung .)

Parabel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Krümmungskreis einer Normalparabel in ihrem Scheitelpunkt hat den Radius 0,5

Für die Normalparabel gilt:

Setzt man in (4) ein, folgt für den Krümmungsradius:

An der Stelle x=0 beträgt der Krümmungsradius r=0,5 (siehe Abbildung). Für große x wächst der Krümmungsradius ~ x3, die Kurve wird immer gerader.

Lissajous-Kurve[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Animation des Krümmungs- kreises bei einer Lissajous-Kurve

Die Parameterdarstellung einer Lissajous-Kurve mit Frequenzverhältnis 2:3 lautet

Die ersten Ableitungen betragen:

Die zweiten Ableitungen betragen:

Setzt man dies in (1) ein und benutzt die Additionstheoreme für Sinus und Kosinus, so folgt für den Krümmungsradius dieser Lissajous-Kurve:

Die Abbildung zeigt eine Animation des Krümmungskreises. Der „Beschleunigungsvektor“ in dieser Abbildung ist die zweite Ableitung von nach der Bogenlänge .

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Klothoide, Krümmungsradius ist umgekehrt proportional zur Kurvenlänge

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Commons: Grafische Illustrationen des Krümmungskreises von Kurven – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien