Kreispackung in einem Kreis

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Die Kreispackung in einem Kreis ist ein zweidimensionales Packungsproblem der Mathematik. Es beschäftigt sich mit der Frage, wie viele Kreise gleicher Größe in einen größeren Kreis hineinpassen.

Problem[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Unter einer Kreispackung in einem Kreis versteht man die überlappungsfreie Anordnung einer vorgegebenen Zahl von Kreisen mit gleichem Radius innerhalb eines größeren Kreises. Für das Packungsproblem gibt es zwei gleichwertige Fragestellungen:

  1. Wie groß dürfen die kleineren Kreise sein, damit Stück von ihnen in einen großen Kreis mit gegebenem Radius passen?
  2. Welchen Radius muss der große Kreis mindestens haben, damit Einheitskreise hineinpassen?

Bei beiden Fragen kommt es nur auf das Verhältnis der beiden Radien an. Bezeichnet den Radius des großen Kreises und den Radius der kleinen Kreise, dann ist die Packungsdichte der Kreispackung durch

gegeben.

Geschichte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Dieses Packungsproblem wurde zuerst in den 1960er Jahren gestellt und untersucht. Kravitz veröffentlichte im Jahr 1967 Packungen mit bis zu 19 Kreisen, ohne die Optimalität der Lösungen zu betrachten.[1] Ein Jahr später bewies Graham, dass die gefundenen Anordnungen mit höchstens 7 Kreisen optimal sind,[2] und von ihm unabhängig Pirl, dass die Anordnungen mit höchstens 10 Kreisen optimal sind.[3] Erst 1994 wurde die Optimalität der Lösung mit 11 Kreisen von Melissen bewiesen.[4] Fodor zeigte zwischen 1999 und 2003, dass die Lösungen mit 12,[5] 13[6] und 19 Kreisen[7] optimal sind.

Darüber hinaus sind nur Näherungslösungen bekannt. Graham et al. etwa gaben 1998 zwei Algorithmen und die damit gefundenen Packungen mit bis zu 65 Kreisen an.[8] Eine Übersicht und Näherungslösungen mit bis zu 2989 Kreisen stammt von Eckard Specht.[9]

Übersicht über die ersten 20 Fälle[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Diese Tabelle gibt an, wie klein man den Außenkreis machen kann, wenn er eine vorgegebene Anzahl an Einheitskreisen enthalten soll. In einigen Fällen gibt es mehr als eine Anordnung.

Anzahl

n

Verhältnis der Radien

R/r

Packungsdichte

P

Optimalität Grafik
1 1 1 trivialerweise
optimal
Disk pack1.svg
2 2 0,5 trivialerweise
optimal
Disk pack2.svg
3 2,154701… 0,646170… trivialerweise
optimal
Disk pack3.svg
4 2,414214… 0,686291… trivialerweise
optimal
Disk pack4.svg
5 2,701302… 0,685210… bewiesen von:
Graham (1968)[2]
Disk pack5.svg
6 3 0,666666… bewiesen von:
Graham (1968)[2]
Disk pack6.svg Disk pack6 2.svg
7 3 0,777777… trivialerweise
optimal
Disk pack7.svg
8 3,304765… 0,732502… bewiesen von:
Pirl (1969)[3]
Disk pack8.svg
9 3,613126… 0,689407… bewiesen von:
Pirl (1969)[3]
Disk pack9.svg
10 3,813026… 0,687797… bewiesen von:
Pirl (1969)[3]
Disk pack10.svg
11 3,923804… 0,714460… bewiesen von:
Melissen (1994)[4]
Disk pack11.svg Disk pack11 2.svg
12 4,029602… 0,739021… bewiesen von:
Fodor (2000)[5]
Disk pack12.svg
13 4,236068… 0,724465… bewiesen von:
Fodor (2003)[6]
Disk pack13.svg Disk pack13b.svg
14 4,328429… 0,747252… vermutlich optimal Disk pack14.svg
15 4,521357… 0,733759… vermutlich optimal Disk pack15.svg
16 4,615426… 0,751097… vermutlich optimal Disk pack16.svg
17 4,792034… 0,740302… vermutlich optimal Disk pack17.svg
18 4,863703… 0,761091… vermutlich optimal Disk pack18.svg Disk pack18 2.svg Disk pack18 3.svg Disk pack18 8.svg Disk pack18 4.svg Disk pack18 5.svg Disk pack18 9.svg Disk pack18 10.svg Disk pack18 6.svg Disk pack18 7.svg
19 4,863703… 0,803192… bewiesen von:
Fodor (1999)[7]
Disk pack19.svg
20 5,122321… 0,762248… vermutlich optimal Disk pack20.svg

Wenn die äußeren Kreise einen geschlossenen „Ring“ bilden wie in den Fällen n = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 13, 18, 19, dann ergibt sich das Verhältnis der Radien als

wobei die Anzahl der Kreise in diesem „Ring“ ist. Der Bruch entspricht dabei dem Umkreisradius eines regelmäßigen Polygons mit Ecken und Seitenlänge .

Für 12 Kreise zum Beispiel ergibt sich das Verhältnis der Radien implizit als

wobei die kleinste Nullstelle des Polynoms ist.[5]

Dichteste Kreispackung in der zweidimensionalen Ebene[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der zweidimensionalen Ebene ohne äußeren Kreis hat die dichteste Kreispackung die Packungsdichte

Entscheidende Beiträge dazu lieferten Joseph Louis Lagrange im Jahr 1773 und Axel Thue im Jahr 1890.[10][11] Der allgemeine Fall ohne Gitterstruktur wurde im Jahr 1942 von László Fejes Tóth bewiesen.[12]

Zusammenhang mit der Kreispackung in einem Kreis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist die Packungsdichte für die dichteste Kreispackung von gleich großen Kreisen in einem Kreis, dann gilt für den Grenzwert

Die Packungsdichte nähert sich also für große immer mehr der Packungsdichte ohne äußeren Kreis an.

Verallgemeinerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die dreidimensionale Verallgemeinerung des Packungsproblems ist die dichteste Kugelpackung in einer Kugel. Auch im dreidimensionalen Fall sind einige optimale Anordnungen bekannt (siehe Sphere packing in a sphere).

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Packing equal circles into squares, circles, spheres. In: János Pach, Peter Brass, W. O. J. Moser: Research problems in discrete geometry, Springer Verlag 2005, S. 28–43, bes. S. 30.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Commons: Bounded circle packings – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. S. Kravitz, Packing cylinders into cylindrical containers, Math. Mag. 40 (1967), 65–71.
  2. a b c R.L. Graham, Sets of points with given minimum separation (Solution to Problem El921), Amer. Math. Monthly 75 (1968), 192–193.
  3. a b c d U. Pirl, Der Mindestabstand von n in der Einheitskreisscheibe gelegenen Punkten, Mathematische Nachrichten 40 (1969), 111–124.
  4. a b H. Melissen, Densest packing of eleven congruent circles in a circle, Geom. Dedicata 50 (1994), 15–25.
  5. a b c F. Fodor, The densest packing of 12 congruent circles in a circle, Beiträge zur Algebra und Geometrie, Contributions to Algebra and Geometry 41 (2000) Nr. 2, S. 401 bis 409. PDF-Datei
  6. a b F. Fodor, The densest packing of 13 congruent circles in a circle, Beiträge zur Algebra und Geometrie, Contributions to Algebra and Geometry 44 (2003) Nr. 2, S. 431 bis 440. PDF-Datei
  7. a b F. Fodor, The densest packing of 19 congruent circles in a circle, Geom. Dedicata 74 (1999), 139–145.
  8. R.L. Graham, B.D. Lubachevsky, K.J. Nurmela, P.R.J. Östergård, Dense packings of congruent circles in a circle, Discrete Math. 181 (1998), 139–154.
  9. Eckard Specht: The best known packings of equal circles in a circle (complete up to N = 2600). packomania.com.
  10. Max Leppmeier, Universität Bayreuth: A Simple Proof of Thue’s Theorem on Circle Packing and an elementary proof of Thue ́s theorem
  11. Hai-Chau Chang, Lih-Chung Wang, National Taiwan University, National Donghwa University: A Simple Proof of Thue’s Theorem on Circle Packing
  12. SpringerLink, L. Fejes: Über die dichteste Kugellagerung