Kreisspiegelung

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Die Spiegelung am Kreis oder Kreisspiegelung ist eine Abbildung der ebenen Geometrie, die das Innere und das Äußere eines gegebenen Kreises miteinander vertauscht.

Die Abbildung ist winkeltreu und zählt zu den speziellen konformen Transformationen.

Eine Kreisspiegelung ist der ebene Fall einer (geometrischen) Inversion. Eine Inversion im Raum ist die Spiegelung an einer Kugel, kurz Kugelspiegelung, mit ähnlichen Eigenschaften wie die der Kreisspiegelung.

Zur Definition der Spiegelung an einem Kreis

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die Kreisspiegelung an einem Kreis mit Mittelpunkt M und Radius R ist der Bildpunkt P' eines Punktes P dadurch festgelegt, dass P' auf der Halbgeraden [MP liegen und die Bedingung

erfüllen muss.[1] Dabei darf der ursprüngliche Punkt P nicht mit dem Mittelpunkt M übereinstimmen. Gelegentlich umgeht man dieses Problem, indem man einen neuen Punkt zur Ebene hinzufügt und diesen als Bildpunkt von M definiert. Der Bildpunkt dieses neuen Punktes ist der Mittelpunkt des Inversionskreises. Häufig ist nur der Mittelpunkt M, nicht jedoch der Radius R wichtig, sodass man einen Kreis mit beliebigem Radius (z. B. 1) zeichnen kann.

Analytische Beschreibung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist in einem kartesischen Koordinatensystem der Ursprung, so lässt sich die Spiegelung an dem Kreis durch

beschreiben.

In ebenen Polarkoordinaten besitzt eine Kreisspiegelung eine besonders einfache Darstellung:

.

Die Spiegelung am Einheitskreis ist dann

und rechtfertigt die Bezeichnung Inversion.

In der Funktionentheorie behandelt man die Inversionen und die von ihnen erzeugten Kreisverwandtschaften am besten in der komplexen ("Gaußschen") Zahlenebene. Eine Inversion am Einheitskreis wird dabei durch die Abbildung beschrieben.[2] Darin bezeichnet eine komplexe Zahl und die zugehörige konjugiert komplexe Zahl.

Konstruktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit Zirkel und Lineal[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Konstruktion des am Inversionskreis (rot) gespiegelten Bildpunktes P' mit Zirkel und Lineal: zur Verbindungslinie vom Kreismittelpunkt zum Urbildpunkt P wird im Punkt P die Senkrechte gebildet; die beiden Tangenten an den beiden Schnittpunkten mit dem Kreis treffen sich im Bildpunkt P'.
  • Liegt P auf dem gegebenen Kreis, so ist P' gleich P.
  • Falls der Punkt P im Kreisinneren liegt, zeichnet man die zu der Geraden MP senkrechte Kreissehne durch P und die beiden Kreistangenten in den Endpunkten dieser Sehne. P' ergibt sich dann als Schnittpunkt dieser Tangenten.
  • Liegt der Punkt P dagegen im Äußeren des Kreises, so beginnt man mit den beiden Kreistangenten durch P. Anschließend bringt man die Verbindungsstrecke der beiden Berührpunkte mit der Geraden MP zum Schnitt. Der Schnittpunkt ist der gesuchte Bildpunkt P'.

Der Beweis, dass man so den Bildpunkt erhält, folgt direkt aus dem Kathetensatz.

Mit Zirkel allein[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Urbildpunkt P wird nur mit Hilfe eines Zirkels am Inversionskreis (rot) gespiegelt, es ergibt sich der Bildpunkt P'.

Liegt der Punkt P außerhalb des Inversionskreises, so zeichnet man um P einen Kreis durch den Mittelpunkt des Inversionskreises. Dieser schneidet den Inversionskreis in zwei Punkten. Zeichne auch um diese Punkte Kreise durch den Mittelpunkt. Diese beiden Kreise schneiden sich nun im Bildpunkt P'.

Liegt P auf dem Kreis, so ist keine Konstruktion notwendig, es gilt P'=P.

Liegt P innerhalb des Kreises, geht man folgendermaßen vor: Zunächst halbiert man den Radius des Inversionskreises so oft, bis man einen neuen Kreis erhält, der den Punkt P nicht mehr enthält. (Dies ist mit Zirkel allein möglich.) Anschließend konstruiert man wie oben den Bildpunkt von P, wobei die Inversion am neuen Kreis durchgeführt wird. Zuletzt verdoppelt man den Abstand des Bildpunktes doppelt so oft wie man den Radius halbiert hat. (Auch dies ist mit Zirkel allein möglich.) Dieser Punkt ist der gesuchte Bildpunkt.

Auf Grund der Komplexität dieses Verfahrens wird man die Konstruktion wohl kaum durchführen, sie bietet aber eine Möglichkeit den Satz von Mohr-Mascheroni zu beweisen, der besagt, dass man mit Zirkel allein alle Konstruktionen durchführen kann, die mit Zirkel und Lineal möglich sind.

Mit anderen Hilfsmitteln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gibt mechanische Geräte, die speziell für die Inversion am Kreis konstruiert wurden, zum Beispiel den Inversor von Peaucellier.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die Abbildung vertauscht Inneres und Äußeres des Inversionskreises, die Punkte auf dem Rand sind Fixpunkte.
  • Wendet man die Inversion zweimal an, so erhält man wieder die Ausgangssituation, die Inversion ist also eine Involution.
  • Die Inversion ist eine konforme Abbildung, d. h., sie ist winkeltreu. Insbesondere werden Objekte, die sich berühren auch wieder auf solche abgebildet.
  • Geraden, die durch den Mittelpunkt des Inversionskreises verlaufen, werden auf sich selbst abgebildet.
  • Geraden, die nicht durch den Mittelpunkt verlaufen, werden auf Kreise abgebildet, die durch den Mittelpunkt gehen.
  • Kreise, die durch den Mittelpunkt verlaufen, werden auf Geraden abgebildet, die nicht durch den Mittelpunkt gehen.
  • Kreise, die nicht durch den Mittelpunkt des Inversionskreises verlaufen, werden wieder auf solche Kreise abgebildet. Allerdings wird der Mittelpunkt des ursprünglichen Kreises durch die Inversion nicht auf den Mittelpunkt des Bildkreises abgebildet.
  • Insbesondere werden Kreise, die den Inversionskreis rechtwinklig schneiden, auf sich selbst abgebildet.

Da die Inversion also nicht einmal geradentreu ist, ist sie im Gegensatz zur Punkt-, Achsen- oder Ebenenspiegelung keine Kongruenzabbildung.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Coxeter, H. S. M., und S. L. Greitzer: Zeitlose Geometrie, Klett Stuttgart 1983
  • Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, S. 121–127 (Erstveröffentlichung 1929 bei der Houghton Mifflin Company (Boston) unter dem Titel Modern Geometry), S. 43–57

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Coxeter, H. S. M.; Greitzer, S. L.:Geometry Revisited. Washington, DC: Math. Assoc. Amer. 1967, S. 108 (Auszug (Google)) - englische Originalausgabe von Zeitlose Geometrie.
  2. David A. Brannan, Matthew F. Esplen, Jeremy J. Gray: Geometry. Cambridge University Press 1999, 2. Auflage 2011, ISBN 9781107647831, S. 281–283 (Auszug (Google))