Kreuzungszahl (Knotentheorie)

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Die Kreuzungszahl oder Überkreuzungszahl eines Knotens oder einer Verschlingung ist eine elementare Invariante aus dem mathematischen Gebiet der Knotentheorie.

Tabelle aller Primknoten mit Kreuzungszahl . (Zu chiralen Knoten ist das Spiegelbild jeweils weggelassen.)

Die Kreuzungszahl eines Knotens (oder einer Verschlingung) ist definiert als die minimale Anzahl von Überkreuzungen in einem den Knoten (oder die Verschlingung) darstellenden Knotendiagramm.

In Knotentabellen werden Knoten üblicherweise nach ihrer Kreuzungszahl angeordnet und jeder Knoten wird durch zwei Zahlen bezeichnet, wobei die Kreuzungszahl des Knotens ist und die Knoten mit derselben Kreuzungszahl durchnummeriert. Zum Beispiel ist die Kleeblattschlinge der einzige Knoten mit Kreuzungszahl 3 und der Achterknoten der einzige Knoten mit Kreuzungszahl 4. Es gibt 1.701.936 Primknoten mit Kreuzungszahl .

Im Allgemeinen ist die Kreuzungszahl eines Knotens schwierig zu berechnen. Wenn man aber für einen Knoten ein reduziertes alternierendes Diagramm findet, dann berechnet dessen Kreuzungszahl die Kreuzungszahl .[1]

Explizit bekannt sind die Kreuzungszahlen folgender Knotenklassen:

  • Die Kreuzungszahl des -Torusknotens mit ist
  • Die Kreuzungszahl des Twist-Knotens ist .
  • Die Kreuzungszahl des 2-Brücken-Knotens mit Twist-Parametern ist .[2]

Es ist eine offene Vermutung, dass die Kreuzungszahl additiv unter der zusammenhängenden Summe von Knoten ist. Bewiesen ist die Ungleichung .[3]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Kunio Murasugi: Jones polynomials and classical conjectures in knot theory. Topology 26 (1987), no. 2, 187–194.
  2. Dies ist die Anzahl der Überkreuzungen im Standard-Diagramm des 2-Brücken-Knotens, welches reduziert und alternierend ist und deshalb die Kreuzungszahl berechnet.
  3. Marc Lackenby: The crossing number of composite knots. J. Topol. 2 (2009), no. 4, 747–768.