Kriterium von Dirichlet

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Das Kriterium von Dirichlet ist ein mathematisches Konvergenzkriterium für Reihen. Es gehört zur Gruppe der direkten Kriterien.

Dirichlet-Kriterium für Konvergenz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kriterium[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Reihe

mit konvergiert, wenn eine monoton fallende Nullfolge ist und die Folge der Partialsummen

beschränkt ist.[1]

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gilt (siehe Partielle Summation)

.

Der erste Summand konvergiert gegen null, da voraussetzungsgemäß durch eine Konstante beschränkt ist und gegen null konvergiert. Der zweite Summand konvergiert sogar absolut, denn für alle und damit

.

Damit ist alles gezeigt.

Dirichlet-Kriterium für gleichmäßige Konvergenz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Reihe

ist im Intervall gleichmäßig konvergent, wenn dort die Partialsummen der Reihe gleichmäßig beschränkt sind und wenn dort die Folge gleichmäßig gegen null konvergiert, und zwar für jedes feste monoton.[2]

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 17. Auflage. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2009, ISBN 978-3-8348-0777-9, IV, Satz 33.14, S. 208/643 S.
  2. Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. 6. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 1996 (1964), ISBN 3-540-59111-7, S. 342 ff./604 S.