Kronecker-Produkt

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Dieser Artikel behandelt das Kronecker-Produkt von Matrizen, für das Kronecker-Produkt von Kohomologie- und Homologie-Klassen siehe Kronecker-Paarung.

Das Kronecker-Produkt ist in der Mathematik ein spezielles Produkt zweier Matrizen beliebiger Größe. Das Ergebnis des Kronecker-Produkts ist eine große Matrix, die durch Betrachtung aller möglichen Produkte von Einträgen der beiden Ausgangsmatrizen entsteht. Es ist nach dem deutschen Mathematiker Leopold Kronecker benannt.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist eine -Matrix und eine -Matrix, so ist das Kronecker-Produkt definiert als

Das heißt jedes Element der Matrix wird mit der Matrix multipliziert. Das Ergebnis ist also wieder eine Matrix, allerdings von der Dimension .

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Rechenregeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Kronecker-Produkt ist nicht kommutativ, das heißt im Allgemeinen gilt

Es gibt jedoch Permutationsmatrizen so dass

gilt. Sind dabei und quadratisch, so kann gewählt werden.

Das Kronecker-Produkt ist assoziativ. Das heißt

Symmetrien[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die Transposition gilt

.

Für die konjugierte Matrix gilt

.

Für die adjungierte Matrix gilt

Bezüge zu anderen Operationen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Kronecker-Produkt ist bilinear mit der Matrizenaddition, das heißt

Sind die Matrizenprodukte und definiert, so gilt[1]

.

Kenngrößen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sind und quadratische Matrizen so gilt für die Spur

.

Für den Rang gilt

.

Ist eine und eine Matrix so gilt für die Determinante

.

Sind die Eigenwerte von und die Eigenwerte von dann gilt

sind die Eigenwerte von .

Für die Spektralnorm gilt demnach

.

Inverse[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sind invertierbar, so ist die Inverse

.

Für die Moore-Penrose-Inverse gilt außerdem

.

Allgemeiner gilt: Sind und verallgemeinerte Inversen von und , so ist eine verallgemeinerte Inverse von .

Matrixgleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es seien die Matrizen gegeben

und eine Matrix gesucht, so dass gilt. Nun gilt folgende Äquivalenz:

Hierbei steht für die spaltenweise Vektorisierung einer Matrix zu einem Spaltenvektor.

Sind die Spalten der Matrix so ist ein Spaltenvektor der Länge .

Analog ist ein Spaltenvektor der Länge .

Hat man den Vektor ermittelt, so ergibt sich daraus unmittelbar die zugehörige, isomorphe Matrix .

Beweis der Äquivalenz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es ist

Dabei ist

Gleichungssystem mit Matrixkoeffizienten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für und seien die Matrizen gegeben.

Gesucht sind die Matrizen , welche das Gleichungssystem

lösen. Diese Aufgabenstellung ist äquivalent zum Lösen des Gleichungssystems

Weitere Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Kronecker-Produkt wird beispielsweise in der verallgemeinerten linearen Regressionsanalyse verwendet, um eine Kovarianzmatrix von korrelierten Störgrößen zu konstruieren. Man erhält hier etwa eine blockdiagonale Zellnermatrix.

Zudem braucht man das Kronecker-Produkt in der Quantenmechanik um Systeme mit mehreren Teilchen, die ein beidseitig beschränktes Spektrum besitzen, zu beschreiben. Zustände mehrerer Teilchen sind dann Kroneckerprodukte der Einteilchenzustände. Im Falle eines unbeschränkten Spektrums bleibt nur die algebraische Struktur eines Kronecker-Produktes erhalten, da dann keine Darstellung durch Matrizen existiert.

Zusammenhang mit Tensorprodukten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben seien zwei lineare Abbildungen und zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen. Dann gibt es immer genau eine lineare Abbildung

zwischen den Tensorprodukten mit

.

Wenn wir auf den Vektorräumen und je eine Basis auswählen, so können wir der Abbildung ihre Darstellungsmatrix zuordnen. Es sei die Darstellungsmatrix von .

Das Kronecker-Produkt der Darstellungsmatrizen entspricht nun genau der Darstellungsmatrix der tensorierten Abbildung , wenn man auf und die Basis zugrundelegt, welche sich aus den lexikographisch angeordneten Paaren von Basisvektoren der am Tensorprodukt beteiligten Vektorräume ergibt: Sind die ausgewählte Basis von und die Basis von , so nehmen wir

als Basis für das Tensorprodukt . Analog für .

Historisches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Kronecker-Produkt ist nach Leopold Kronecker benannt, weil er es anscheinend als erster definierte und verwendete. Früher wurde das Kronecker-Produkt manchmal Zehfuss-Matrix genannt, nach Johann Georg Zehfuss.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Steeb, Willi Hans: Kronecker Product of Matrices and Applications. BI-Wiss.Verlag, 1991, ISBN 3-411-14811-X, S.16