Kubische Funktion

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Graph einer kubischen Funktion; die Nullstellen (y=0) sind dort, wo der Graph die x-Achse schneidet. Der Graph hat zwei Extrempunkte.

In der Mathematik versteht man unter einer kubischen Funktion eine ganzrationale Funktion 3. Grades, also eine Funktion f\colon \R \to \R auf den reellen Zahlen, die in der Form

f(x)=a x^3 + b x^2 + c x + d

mit a, b, c, d \in \R und a \ne 0 geschrieben werden kann.

Kubische Funktionen können als reelle Polynomfunktionen von Polynomen über \mathbb R aufgefasst werden.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Verhalten im Unendlichen[Bearbeiten]

Wie bei allen ganzrationalen Funktionen von ungeradem Grad gilt

\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty, \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -\infty,

falls der führende Koeffizient a positiv ist, und

\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = -\infty, \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = +\infty,

falls a negativ ist.

Nullstellen[Bearbeiten]

Da eine kubische Funktion als Polynomfunktion stetig ist, folgt aus dem Verhalten im Unendlichen und dem Zwischenwertsatz, dass sie stets mindestens eine reelle Nullstelle hat. Andererseits kann eine ganzrationale Funktion von Grad n nicht mehr als n Nullstellen besitzen. Somit folgt: Eine kubische Funktion hat in \R mindestens eine und maximal drei Nullstellen.

Zum Auffinden der Nullstellen einer kubischen Funktion siehe Kubische Gleichung und Cardanische Formeln. Die Diskriminante der allgemeinen kubischen Funktion f lautet

D = b^2c^2 - 4ac^3 - 4b^3d -27a^2d^2 + 18abcd

und eignet sich zur Nullstellenklassifikation des Polynoms: Im Fall D > 0 existieren drei verschiedene reelle Nullstellen, im Fall D < 0 nur eine. Gilt D = 0, so gibt es entweder eine einfache und eine doppelte reelle Nullstelle oder es gibt eine dreifache reelle Nullstelle.

Das numerische Auffinden der Nullstellen ist beispielsweise mit dem Newton-Verfahren möglich.

Monotonie und lokale Extrema[Bearbeiten]

Als Polynomfunktion ist f beliebig oft differenzierbar; für ihre 1. Ableitung f' ergibt sich die quadratische Funktion

f'(x) = 3ax^2 + 2bx+c.

Ist deren Diskriminante 4b^2 - 12ac positiv, d. h. es gilt b^2 > 3ac, so besitzt f genau ein lokales Maximum und genau ein lokales Minimum. Anderenfalls ist f streng monoton, und zwar streng monoton wachsend für a > 0 und streng monoton fallend für a < 0.

Wendepunkt und Symmetrie[Bearbeiten]

Jede kubische Funktion f besitzt genau einen Wendepunkt (x_W; f(x_W)). Die Wendestelle

x_W = -\frac{b}{3a}

ist die eindeutig bestimmte Nullstelle der 2. Ableitung f''(x) = 6ax+2b.

Der Funktionsgraph von f ist punktsymmetrisch zu seinem Wendepunkt.

Normalform[Bearbeiten]

Durch Verschiebung und Umskalierung lässt sich jede kubische Funktion f in die Form

g(u)=u^3 + k u

mit k \in \{-1,0,1\} bringen.

Man erhält also genau drei mögliche Fälle dieser Normalform.:

  1. k = -1: Der Graph von g besitzt zwei Extrempunkte.
  2. k = 0: Die Extrempunkte fallen zu genau einem Sattelpunkt zusammen.
  3. k = 1: Der Graph von g besitzt weder Extrema noch Sattelpunkt, da die Ableitung jetzt auf dem gesamten Definitionsbereich positiv ist.

Da die Transformation auf Normalform die Existenz der Extrema nicht verändert, gilt diese Charakterisierung auch für die ursprüngliche Funktion f. Der Koeffizient k ist das Vorzeichen der Diskriminante der Ableitung der ursprünglichen Funktion f.

Kubische Parabel[Bearbeiten]

Als kubische Parabeln bezeichnet man die Funktionsgraphen von kubischen Funktionen und diejenigen Kurven in der Ebene, die aus diesen durch Drehungen hervorgehen. Da bei der geometrischen Betrachtung der Kurve eine Translation irrelevant ist, braucht man nur kubische Polynome mit b = d = 0 analytisch zu untersuchen.

Siehe auch[Bearbeiten]