Kugelschicht

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Kugelschicht

Eine Kugelschicht, auch Kugelscheibe genannt, ist ein Teil der Vollkugel. Sie hat zwei parallele Schnittflächen. Anschaulich kann man sich das so vorstellen, dass man von einem (als kugelförmig angenommenen) Apfel aus der Mitte eine Scheibe herausschneidet.

Mathematische Präzisierung[Bearbeiten]

Die Kugelschicht wird aus einer Vollkugel (deren Radius sei R) durch zwei parallele, die Kugel echt schneidende Ebenen (ihr Abstand sei h) herausgeschnitten.

Zur Berechnung werden ein paar Bezeichnungen benötigt:

Die größere der beiden durch den Schnitt entstehenden parallelen Kreisflächen wird Grundfläche genannt und mit dem Buchstaben G bezeichnet, ihr Radius sei r_1. Die kleinere [1] wird Deckfläche genannt und mit dem Buchstaben D bezeichnet, ihr Radius sei r_2. Die dritte der begrenzenden Flächen, die Mantelfläche, wird auch Kugelzone genannt und durch M bezeichnet.

Formeln[Bearbeiten]

Eigenschaft Formel
Flächeninhalt der Kugelzone M[2]  M=2 \pi R h
Flächeninhalt der Grundfläche G der Kugelschicht  G=\pi r_1^2
Flächeninhalt der Deckfläche D der Kugelschicht  D=\pi r_2^2
Flächeninhalt der Oberfläche S der Kugelschicht  S=\pi(2Rh+ r_1^2+r_2^2 )
Volumen V der Kugelschicht  V=\frac {\pi h}{6}( 3r_1^2+3r_2^2+h^2)
Zusammenhang zwischen R,r_1, r_2 und h  R^2=r_1^2+ \left (\frac{r_1^2-r_2^2-h^2}{2h}\right ) ^2


Kugelschicht mit Mantellinie des einbeschriebenen Kegelstumpfes

Ist V_1 das Volumen des Kegelstumpfes, der einer Kugelschicht einbeschrieben ist und l die Länge seiner Mantellinie, so ist

V-V_1 = \frac{1}{6} \pi hl^2


Herleitung der Formeln[Bearbeiten]

Flächeninhalt der Kugelzone[Bearbeiten]

Schnitt durch eine Kugelschicht

Die Kugelzone wird erzeugt, indem der Rand der Querschnittsfläche um die y-Achse rotiert. Dabei wird aufgrund der Rotationssymmetrie der Schnitt der Mantelfläche mit einer xy-Ebene betrachtet, welche die Kugel in den Polen und im Mittelpunkt schneidet, gedacht als Funktion  y(x) bzw.  x(y) . Es werden sodann die Kreisumfänge  2 \pi x (wobei  x=\sqrt {R^2-y^2}  ), multipliziert mit der infinitesimalen Bogenlänge  \sqrt{dx^2+dy^2} , aufaddiert bzw. kontinuierlich integriert, was den gewünschten Flächeninhalt ergibt [3]


\begin{align}
M & =2 \pi \int\limits_{y_1}^{y_2} x \cdot \sqrt {1+ \left (\frac {\,dx}{\,dy} \right )^2} \,dy \\
& =2 \pi \int\limits_{y_1}^{y_2} \sqrt {R^2-y^2} \cdot \sqrt {1+ \left (\frac {-y}{\sqrt{R^2-y^2}} \right )^2} \,dy \\
& =2 \pi \int\limits_{y_1}^{y_2} \sqrt{R^2-y^2} \cdot \sqrt {1+ \frac {y^2}{R^2-y^2}}  \,dy \\
& =2 \pi \int\limits_{y_1}^{y_2} \sqrt{R^2-y^2+y^2} \,dy \\
& = 2 \pi R \int\limits_{y_1}^{y_2}  \,dy \\
& = 2 \pi R (y_2 -y_1) \\
& = 2 \pi R h
\end{align}

Volumen der Kugelschicht[Bearbeiten]

Die Kugelschicht wird erzeugt, indem deren Querschnittsfläche um die y-Achse rotiert. Für das Volumen gilt dann [3]


\begin{align}
V & = \pi \int\limits_{y_1}^{y_2} x^2 \,dy \\
& = \pi \int\limits_{y_1}^{y_2}  (R^2-y^2)  \,dy \\
& = \pi \left[ R^2y-\frac {1}{3}y^3 \right]_{y=y_1}^{y=y_2} \\
& = \pi \left(R^2y_2 - \frac{1}{3} y_2^3 - R^2y_1 + \frac{1}{3} y_1^3 \right) \\
& = \pi \left(R^2 \underbrace{(y_2 - y_1)}_{h} - \frac{1}{3} (y_2^3-y_1^3) \right) \\
& = \pi \left[R^2h- \frac{1}{3} \underbrace{(y_2 - y_1)}_{h}(y_2^2+y_2y_1+y_1^2) \right]  \\
& = \frac{\pi h}{6} \left[6R^2-2y_2^2-2y_2y_1-2y_1^2 \right] \\
& = \frac{\pi h}{6} \left[3R^2-3y_2^2 + 3R^2 -3y_1^2 + y_2^2 -2y_2y_1+y_1^2 \right] \text {    (Hier wird mit}  -y_2^2-y_1^2+y_2^2+y_1^2 \text {erweitert)} \\

& = \frac{\pi h}{6} \left[3 \underbrace {(R^2-y_2^2)}_{r_2^2} + 3 \underbrace {(R^2 -y_1^2)}_{r_1^2} + (\underbrace {y_2-y_1}_{h})^2 \right] \\
& = \frac{\pi h}{6} (3r_1^2+3r_2^2+h^2) \\
\end{align}

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  • I. Bronstein u.a.: Taschenbuch der Mathematik. Harri Deutsch, Frankfurt 2001, ISBN 3-8171-2005-2.
  • L. Kusch u.a.: Mathematik, Teil 4 Integralrechnung. Cornelsen, Berlin 2000, ISBN 3-464-41304-7.

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Die Formeln gelten auch, wenn die Kugel symmetrisch geschnitten wird und es zwei gleich große Schnittflächen gibt.
  2. Lit.: Formeln nach Bronstein, 2000
  3. a b Lit.: Herleitung nach Kusch, 2000