Kumulante

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Kumulanten sind in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Kenngrößen der Verteilung einer Zufallsvariablen, die in Bezug auf die Summenbildung von stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen einfachen Rechengesetzen genügen. Die Folge der Kumulanten beginnt mit dem Erwartungswert und der Varianz.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist die momenterzeugende Funktion der Zufallsvariablen , d.h. es ist

,

so heißt die Funktion

kumulantenerzeugende Funktion. Die -te Kumulante der Verteilung von ist dann definiert durch

.

Alternativ lassen sich Kumulanten auch durch die charakteristische Funktion einer Zufallsvariablen definieren.

Die -te Kumulante ist dann definiert durch

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Verschiebungs-Invarianz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Kumulanten werden auch als Semiinvarianten der Dichtefunktion bezeichnet, da sie sich, mit Ausnahme von , bei einer Verschiebung des Erwartungswertes nicht ändern. Sei eine Zufallsvariable, dann gilt für eine beliebige Konstante :

Homogenität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die -te Kumulante ist homogen vom Grad , sei eine beliebige Konstante, dann gilt:

Additivität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien und stochastisch unabhängige Zufallsvariablen, dann gilt für

Für unabhängige Zufallsvariablen ist die charakteristische Funktion ein Produkt und somit der Logarithmus eine Summe:

Für die Summe aus stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen gilt:

Besonderheit der Gauß-Verteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für eine Gauß-Verteilung ist die charakteristische Funktion gleich und somit die Kumulanten:

Alle Kumulanten größer als 2. Ordnung verschwinden. Diese Eigenschaft charakterisiert die Gauß-Verteilung.

Man kann zeigen, dass

  • entweder alle Kumulanten außer den ersten beiden verschwinden
  • oder unendlich viele nichtverschwindende Kumulanten existieren.

Anders ausgedrückt: Die Kumulanten generierende Funktion kann kein endliches Polynom von Grad größer 2 sein.

Kumulanten und Momente[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kumulanten als Funktion der Momente[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bezeichne das n-te Moment einer Zufallsvariablen . Durch lässt sich darstellen als

Folglich lassen sich die Kumulanten durch die Momente bzw. folgendermaßen ausdrücken:

Im Allgemeinen lässt sich die Abhängigkeit der Kumulanten von den Momenten durch folgende Rekursionsformel beschreiben:

Alternativ lässt sich aus der Formel von Faà di Bruno die k-te Kumulante mittels der Bell-Polynome und der Momente darstellen als

.

Mit den zentralen Momenten sind die Formeln meist kürzer:

Von besonderer Bedeutung sind die ersten beiden Kumulanten: ist der Erwartungswert und ist die Varianz . Ab der vierten Ordnung stimmen Kumulante und zentrales Moment nicht mehr überein.

Herleitung der ersten Kumulanten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man entwickelt um

und setzt die Reihendarstellung von

in obige Entwicklung ein

Sortiert man noch nach Potenzen von , so erhält man die Kumulanten:

Momente als Funktion der Kumulanten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das -te Moment ist ein Polynom -ten Grades der ersten Kumulanten. Hier die ersten sechs Momente:

Die Koeffizienten entsprechen genau denjenigen in der Formel von Faà di Bruno. Allgemeiner, ist das n-te Moment genau das nte vollständige Bell-Polynom , ausgewertet an den Stellen :

.

Um die zentralen Momente als Funktion der Kumulanten auszudrücken, vernachlässige in obigen Polynomen für die Momente alle Terme, bei denen als Faktor auftaucht.

Folgerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben seien die identisch verteilten und stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen .

Zentraler Grenzwertsatz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die Zufallsvariable

ergeben sich unter Ausnutzung der Eigenschaften Homogenität und Additivität folgende Kumulanten:

Die Ordnung ergibt sich, da die Summe über die Einzelkumulanten von der Ordnung ist. Hier die Ordnungen der ersten Kumulanten:

Für ist die Ordnung hoch einem negativen Exponenten und somit gilt im Grenzwert unendlich vieler Zufallsvariablen:

D. h. es bleiben nur die beiden ersten Kumulanten bzw. die beiden ersten Momente übrig. Die einzige Verteilung, die nur die erste und zweite Kumulante besitzt, ist die Gauß-Verteilung. Damit wird plausibel, dass die Summe beliebiger Zufallsvariablen geteilt durch die Wurzel der Anzahl gegen die Gauß-Verteilung konvergiert; dies ist der Zentrale Grenzwertsatz. Um diese Plausibilitätsbetrachtung zu einem Beweis zu vervollständigen, bedarf es der Verwendung allgemeiner Gesetzmäßigkeiten von charakteristischen Funktionen. Die Gauß-Verteilung nimmt also eine besondere Stellung unter allen Verteilungen ein. Wirken bei einem Experiment viele stochastisch unabhängige Einflüsse, so kann man die Gesamtheit der Einflüsse durch eine Gaußsche Zufallsvariable darstellen.

Als einfachen Spezialfall betrachte alle Zufallsvariablen als identisch mit Mittelwert 0, Varianz und beliebigen höheren Momenten.

Für die Zufallsvariable

kann man gegenüber die Verschiebungsinvarianz der Kumulanten der Ordnung größer gleich 2 ausnutzen. Der einzige Unterschied zur Zufallsvariablen ist, dass Erwartungswert von Null ist, auch dann wenn die Erwartungswerte der nicht verschwinden.

Gesetz der großen Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die Zufallsvariable

ergeben sich unter Ausnutzung der Eigenschaften Homogenität und Additivität folgende Kumulanten:

Die Ordnung ergibt sich, da die Summe über die Einzelkumulanten von der Ordnung ist. Hier die Ordnungen der ersten Kumulanten:

Für ist die Ordnung hoch einem negativen Exponenten und somit gilt im Grenzwert unendlich vieler Zufallsvariablen:

D. h. es bleibt nur die erste Kumulante bzw. das erste Moment übrig. Mit wachsendem erhält man eine Gauß-Verteilung um den Mittelwert

,

wobei die Breite von der Ordnung ist, und im Grenzfall einen scharfen (Delta-förmigen) Peak bei .

Als einfachen Spezialfall betrachte alle Zufallsvariablen als identisch mit Mittelwert , Varianz und beliebigen höheren Momenten.

Somit ist eine Zufallsvariable mit demselben Mittelwert wie (man nennt erwartungstreuer Schätzer für den Mittelwert von ). Die für wachsende immer schmaler werdende Breite der Gauß-Verteilung (Standardabweichung um Mittelwert) beträgt .

Geschichte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kumulanten und ihre Eigenschaften wurden erstmals 1889 von dem dänischen Mathematiker Thorvald Nicolai Thiele in einem in dänischer Sprache erschienenen Buch beschrieben.[1] Obwohl dieses Buch im gleichen Jahr im Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik ausführlich referiert wurde,[2] blieben die Ergebnisse zunächst weitgehend unbeachtet, so dass Felix Hausdorff noch 1901 diese Kenngrößen in einer Arbeit als (von ihm) „neueingeführt“ bezeichnete.[3]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Thorvald Nicolai Thiele: Forelæsninger over almindelig Iagttagelseslære: Sandsynlighedsregning og mindste Kvadraters Methode, Kopenhagen 1889.
  2. Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik JFM 21.0210.01.
  3. Felix Hausdorff: Gesammelte Werke, Band V: Astronomie, Optik und Wahrscheinlichkeitstheorie. 2006, ISBN 978-3-540-30624-5, S. 544, 577.