Kurvenintegral

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Das Kurven-, Linien-, Weg- oder Konturintegral erweitert den gewöhnlichen Integralbegriff für die Integration in der komplexen Ebene (Funktionentheorie) oder im mehrdimensionalen Raum (Vektoranalysis).

Wegintegrale über geschlossene Kurven werden auch als Ringintegral, Umlaufintegral[1] oder Zirkulation bezeichnet und mit dem Symbol geschrieben.

Reelle Wegintegrale[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kurvenintegral erster Art[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Illustration eines Kurvenintegrals erster Art über ein Skalarfeld

Das Wegintegral einer stetigen Funktion

entlang eines stückweise stetig differenzierbaren Weges

ist definiert als

Dabei bezeichnet die Ableitung von nach und die euklidische Norm des Vektors .

Ein Spezialfall ist die Länge der durch parametrisierten Kurve :

Kurvenintegral zweiter Art[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Illustration eines Kurvenintegrals zweiter Art über ein Vektorfeld

Das Wegintegral über ein stetiges Vektorfeld

mit einer ebenfalls so parametrisierten Kurve ist definiert als das Integral über das Skalarprodukt aus und :

Einfluss der Parametrisierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sind und einfache (d. h. und sind injektiv) Wege mit und und demselben Bild, parametrisieren sie also dieselbe Kurve in derselben Richtung und durchlaufen sie die Kurve genau einmal, so stimmen die Integrale entlang und überein. Dies rechtfertigt den Namen Kurvenintegral; ist die Integrationsrichtung aus dem Kontext ersichtlich oder irrelevant, wird daher der Weg in der Notation unterdrückt.

Wegelement und Längenelement[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der in den Kurvenintegralen erster Art auftretende Ausdruck

heißt skalares Wegelement oder Längenelement. Der in den Kurvenintegralen zweiter Art auftretende Ausdruck

heißt vektorielles Wegelement.

Rechenregeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien , Kurvenintegrale gleicher Art (d. h. entweder beide erster oder beide zweiter Art), sei das Urbild der beiden Funktionen und von gleicher Dimension und sei . Dann gelten für , und die folgenden Rechenregeln:

Notation für Kurvenintegrale von geschlossenen Kurven[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist eine geschlossene Kurve, so schreibt man

statt auch .

Mit dem Kreis im Integral möchte man deutlich machen, dass geschlossen ist. Der einzige Unterschied liegt hierbei in der Notation.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Ist der Graph einer Funktion , so wird der Graph durch
parametrisiert. Wegen
ist die Länge des Graphen gleich
  • Eine Ellipse mit großer Halbachse und kleiner Halbachse wird durch für parametrisiert. Ihr Umfang ist also
dabei bezeichnet die numerische Exzentrizität der Ellipse. (Das Integral auf der rechten Seite wird aufgrund dieses Zusammenhanges als elliptisches Integral bezeichnet.)

Wegunabhängigkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist ein Vektorfeld ein Gradientenfeld, d. h. ist der Gradient eines skalaren Feldes , mit

so gilt für die Ableitung der Verkettung von und

was gerade dem Integranden des Wegintegrals über auf entspricht. Daraus folgt für einen gegebenen Weg

Zwei beliebige Wege in einem Gradientenfeld

Dies bedeutet, dass das Integral von über ausschließlich von den Punkten und abhängt und der Weg dazwischen irrelevant für das Ergebnis ist. Aus diesem Grund wird das Integral eines Gradientenfeldes als "wegunabhängig" bezeichnet.

Insbesondere gilt für das Ringintegral über die geschlossene Kurve , mit zwei beliebigen Wegen und

Dies ist insbesondere in der Physik von großer Bedeutung, da beispielsweise die Gravitation diese Eigenschaften besitzt. Da die Energie in diesen Kraftfeldern stets eine Erhaltungsgröße ist, werden sie in der Physik als konservative Kraftfelder bezeichnet. Das skalare Feld ist dabei das Potential beziehungsweise die Potentielle Energie; diese ist gemäß der letzten Beziehung über einen geschlossenen Weg gleich Null.

Wegunabhängigkeit lässt sich auch mit Hilfe der Integrabilitätsbedingung zeigen.

Komplexe Wegintegrale[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist eine komplexwertige Funktion, dann nennt man integrierbar, wenn und integrierbar sind. Man definiert

.

Das Integral ist damit -linear. Ist stetig und eine Stammfunktion von , so gilt wie im Reellen

.

Der Integralbegriff wird nun auf die komplexe Ebene wie folgt erweitert: Ist eine komplexwertige Funktion auf einem Gebiet , und ist ein stückweise stetig differenzierbarer Weg in , so ist das Wegintegral von entlang des Weges definiert als

Der Malpunkt bezeichnet hier komplexe Multiplikation.

Die zentrale Aussage über Wegintegrale komplexer Funktionen ist der Cauchysche Integralsatz: Für eine holomorphe Funktion hängt das Wegintegral nur von der Homotopieklasse von ab. Ist einfach zusammenhängend, so hängt das Integral also überhaupt nicht von , sondern nur von Anfangs- und Endpunkt ab.

Analog zum reellen Fall definiert man die Länge des Weges durch

.

Für theoretische Zwecke ist folgende Ungleichung, die sogenannte Standardabschätzung, von besonderem Interesse:

, wenn für alle gilt.

Wie im reellen Fall ist das Wegintegral unabhängig von der Parametrisierung des Weges , d. h. es ist nicht zwingend notwendig, als Parameterbereich zu wählen, wie sich durch Substitution zeigen lässt.

Siehe dagegen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis - Teil 2. 1981; 5. Auflage, Teubner 1990, ISBN 3-519-42222-0, S. 369 Satz 180.1, S. 391 Satz 184.1, S. 393 Satz 185.1

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Klaus Knothe, Heribert Wessels: Finite Elemente. Eine Einführung für Ingenieure. 3. Auflage. 1999, ISBN 978-3-540-64491-0, S. 524.