Kynea-Zahl

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In der Zahlentheorie ist eine Kynea-Zahl eine ganze Zahl der Form , oder, gleichbedeutend, eine Zahl der Form mit . Sie wurden erstmals untersucht von Cletus Emmanuel, der sie nach einem Baby, Kynéa R. Griffith, benannt hat.[1][2]

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die ersten Kynea-Zahlen sind die folgenden:
7, 23, 79, 287, 1087, 4223, 16639, 66047, 263167, 1050623, 4198399, 16785407, 67125247, 268468223, 1073807359, 4295098367, 17180131327, 68720001023, 274878955519, 1099513724927, 4398050705407, 17592194433023, 70368760954879, 281475010265087, 1125899973951487, … (Folge A093069 in OEIS)
  • Die ersten primen Kynea-Zahlen sind die folgenden
(die ist in der Liste wegen nicht enthalten, hätte aber ebenfalls die Form ):
7, 23, 79, 1087, 66047, 263167, 16785407, 1073807359, 17180131327, 68720001023, 4398050705407, 70368760954879, 18014398777917439, 18446744082299486207, 5070602400912922109586440191999, … (Folge A091514 in OEIS)
Man nennt sie Kynea-Primzahlen.
  • Die größte bekannte Kynea-Primzahl ist und hat Stellen.[3] Sie wurde von Mark Rodenkirch im Juni 2016 mit den Programmen CKSieve und PrimeFormGW gefunden. Es ist die 50. Kynea-Primzahl.[4]

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Jede Kynea-Zahl der Form hat eine binäre Darstellung, welche Stellen lang ist, mit einem Einser beginnt, danach Nullen in der Mitte hat und mit weiteren Einsern endet. Mit anderen Worten:
Beispiel:
  • Die Differenz zwischen der -ten Kynea-Zahl und der -ten Carol-Zahl beträgt .
  • Wenn man mit der Kynea-Zahl 7 zählen beginnt, ist jede dritte Kynea-Zahl ein Vielfaches von .
Beispiel:
ist die sechste Carol-Zahl nach und tatsächlich ist ein Vielfaches von .
  • Eine Kynea-Zahl mit für kann keine Primzahl sein.
(folgt aus der Eigenschaft direkt darüber)
  • Eine Kynea-Zahl ist die Summe einer -ten Potenz von 4 und der -ten Mersenne-Zahl.

Verallgemeinerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine verallgemeinerte Kynea-Zahl zur Basis b ist eine Zahl der Form mit und einer Basis .

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Eine verallgemeinerte Kynea-Zahl mit Basis kann nur dann eine Primzahl sein, wenn eine gerade Zahl ist.
(Wenn eine ungerade Zahl wäre, wäre auch jede Potenz ungerade. Addiert man dazu, ist die Zahl gerade. Das Quadrat dieser Zahl ist ebenfalls gerade und zieht man ab, ist sie noch immer gerade und somit sicher nicht prim. Damit ist diese und die nächste Eigenschaft bewiesen.)
  • Eine verallgemeinerte Kynea-Zahl mit einer ungeraden Basis ist immer eine gerade Zahl.
  • Eine verallgemeinerte Kynea-Zahl mit Basis ist auch eine verallgemeinerte Kynea-Zahl mit Basis .
  • Die kleinsten , sodass prim ist (Basis ), sind die folgenden (für ):
1, 1, 1, 1, 22, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 24, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 6, 2, 1, 3, 1, 1, 4, 3, 1, 8, 2, 1, 1, 2, 172, 1, 1, 354, 1, 1, 3, 29, 3, 423, 8, 1, 11, 1, 5, 2, 4, 11, 1, 6, 1, 3, 57, 24, 368, 1, 1, 1, 11, 19, 1, 3, 1, 13, 1, 12, 1, 41, 3, 1, 3, 4, 4, 2, 1, 152, 1893, 1, 12, 6, 2, 1, 11, 1, 2, 1, 3, 14, 1, 2, 6, 2, 1, 1017, 3, 30, 6, 3, …
Beispiel:
Für kann man der obigen Liste an der 11. Stelle die Zahl entnehmen.
Tatsächlich ist eine Primzahl.

Es folgt eine Tabelle, der man die kleinsten verallgemeinerten Kynea-Primzahlen mit Basis entnehmen kann:

Form Potenzen , sodass verallgemeinerte Kynea-Zahlen mit Basis , also der Form prim sind OEIS-Folge
1, 2, 3, 5, 8, 9, 12, 15, 17, 18, 21, 23, 27, 32, 51, 65, 87, 180, 242, 467, 491, 501, 507, 555, 591, 680, 800, 1070, 1650, 2813, 3281, 4217, 5153, 6287, 6365, 10088, 10367, 37035, 45873, 69312, 102435, 106380, 108888, 110615, 281621, 369581, 376050, 442052, 621443, 661478, … (Folge A091513 in OEIS)
1, 4, 6, 9, 16, 90, 121, 340, 400, 535, 825, 5044, 34656, 53190, 54444, 188025, 221026, 330739, …
1, 2, 3, 4, 9, 12, 30, 49, 56, 115, 118, 376, 432, 1045, 1310, 6529, 7768, 8430, 21942, 26930, 33568, 50800, … (Folge A100902 in OEIS)
1, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 17, 29, 60, 167, 169, 185, 197, 550, 12345, 15291, 23104, 34145, 35460, 36296, 125350, …
22, 351, 1061, … (Folge A100904 in OEIS)
1, 2, 8, 60, 513, 1047, 7021, 7506, …
1, 5, 60, 72, 118, 181, 245, 310, 498, 820, 962, 2212, 3928, 5844, 5937, … (Folge A100906 in OEIS)
2, 3, 8, 45, 170, 200, 2522, 17328, 26595, 27222, 110513, …
1, 10, 21, 25, 31, 1083, 40485, …
1, 15, 44, 77, 141, 208, 304, 1169, 3359, 5050, 22431, 34935, …
3, 166, 814, 1851, 2197, 3172, 3865, 19791, … (Folge A100908 in OEIS)
24, 321, 971, 984, …
1, 2, 8, 78, 79, 111, 5276, 8226, 19545, 75993, …
1, 2, 11, 15, 586, 993, 5048, 24990, …
2, 3, 57, 129, 171, 9837, 30359, 157950, …
1, 3, 13, 36, 111, 136, 160, 214, 330, 1273, 7407, 20487, 21276, 22123, 75210, …
1, 2, 14, 29, 61, 146, 2901, 6501, 8093, …
1, 2, 6, 15, 28, 59, 188, 216, 655, 3884, 4215, 10971, 13465, 16784, 25400, …
6, 279, 3490, …
2, 49, 144, 825, 2856, 2996, 5166, 7824, 9392, 40778, …
1, 3, 4, 81, 119, 2046, 2466, 4020, 7907, 8424, 25002, …
3, 195, 1482, 8210, 20502, 60212, 95940, …
1, 54, 2040, 3063, …
1, 207, 329, 1153, 4687, 13274, 25978, …
4, 38, 93, 120, 4396, 11459, 25887, …

Die größte bekannte verallgemeinerte Kynea-Primzahl ist und hat Stellen.[5] Sie wurde von Serge Batalov am 22. Mai 2016 mit den Programmen CKSieve und PrimeFormGW gefunden. Es ist die achte Kynea-Primzahl mit dieser Basis.[4]

Weitere Verallgemeinerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine positive ganze Zahl der Form nennt man Big-Ears-Zahl (Big-Ears number).[6]

Die kleinsten primen Big-Ears-Zahlen, sogenannte Big-Ears-Primzahlen, sind die folgenden:

3, 7, 11, 15, 35, 16475, 26827, 79127, 85075, … (Folge A0100900 in OEIS)

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Cletus Emmanuel auf Prime Pages
  2. Cletus Emmanuel: Message to Yahoo primenumbers group
  3. (2661478+1)2-2 auf The Lagest Known Primes!
  4. a b Mark Rodenkirch, Gary Barnes, Karsten Bonath: Carol and Kynea Prime Search
  5. (30157950+1)2-2 auf The Lagest Known Primes!
  6. Carol- und Kynea-Primzahlen