Ladungskonjugation

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Die Ladungskonjugation oder C-Parität (für englisch Charge = Ladung) ersetzt in quantenmechanischen Zuständen jedes Teilchen durch sein Antiteilchen. Sie spiegelt so das Vorzeichen der Ladung und lässt Energie, Impuls, Masse und Spin jedes Teilchens unverändert.

Die elektromagnetischen und die starken Wechselwirkungen sind invariant unter Ladungskonjugation (kurz C-invariant), das heißt, bei Streuung oder Zerfall verhalten sich die ladungsgespiegelten Zustände so wie die ursprünglichen Zustände. Die Schwache Wechselwirkung ist nicht C-invariant: Der Anteil des Elektrons, der bei schwachen Wechselwirkungen in ein Elektronneutrino und ein W^--Boson übergehen kann, wird bei Ladungskonjugation durch den Teil des Positrons ersetzt, der nicht an die W-Bosonen koppelt.

Ladungskonjugation des Dirac-Feldes[Bearbeiten]

Das Dirac-Feld \psi wird bei Ladungskonjugation auf das Feld \psi_c transformiert, das mit umgekehrter Ladung e an die elektromagnetischen Potentiale A_0,A_1,A_2,A_3 koppelt. Wenn \psi die Dirac-Gleichung (über den doppelten Index n ist zu summieren)

\bigl( \gamma^n\,(\mathrm i\,\partial_n -e A_n) - m\bigr)\psi=0

erfüllt, dann soll das ladungskonjugierte Feld \psi_c der Gleichung

\bigl( \gamma^n\,(\mathrm i\,\partial_n +e A_n) - m\bigr)\psi_c=0

genügen.

Komplex Konjugieren der ersten Gleichung ergibt

\bigl(\gamma^{n\,*}\,(-\mathrm i\,\partial_n -e A_n) - m\bigr)\psi^*=0\ .

Es erfüllt also \psi_c = B \psi^* die ladungskonjugierte Gleichung, wenn B eine Matrix ist, für die

-\gamma^{n\,*}=B^{-1} \gamma^n B

gilt. Solch eine Matrix gibt es für jede Darstellung der Dirac-Matrizen, denn alle irreduziblen Darstellungen der Dirac-Algebra sind einander äquivalent, und -\gamma^{n\,*} stellt die Dirac-Algebra ebenso dar wie \gamma^{n}\,.

Schreibt man \psi^*=\gamma^{0\,\text{T}}\,\overline{\psi}^{\text{T}}, so hat das ladungskonjugierte Feld die Form

\psi_c = C \,\overline{\psi}^{\text{T}} mit der Ladungskonjugationsmatrix C=B\,\gamma^{0\,\text{T}}\,.

Wegen \gamma^{n\,\dagger}=\gamma^0 \gamma^n \gamma^0 erfüllt die Ladungskonjugationsmatrix

-\gamma^{n\,\text{T}}=C^{-1} \gamma^n C\,.

In der Dirac-Darstellung der Gamma-Matrizen kann die Ladungskonjugationsmatrix als

 C = \mathrm i\, \gamma^2\,\gamma^0=
\begin{pmatrix}
 & -\mathrm i \sigma^2\\
-\mathrm i\sigma^ 2
\end{pmatrix}

so gewählt werden, dass sie reell, antisymmetrisch und unitär ist, -C = C^ {-1}=C^ {\text{T}}=C^\dagger\,.

Eigenwerte und Eigenzustände[Bearbeiten]

Für die Eigenzustände des C-Operators auf ein Teilchen gilt:

\mathcal C \, |\psi\rangle = \eta_C \, | \bar{\psi} \rangle.

Da der Paritätsoperator eine Involution (Mathematik) ist, gilt

\mathcal {C}^2|\psi\rangle = \eta_C \mathcal{C} |\bar{\psi} \rangle = \eta_{C}^{2} |\psi\rangle = | \psi \rangle

Dies erlaubt nur Eigenwerte \eta_C = \pm 1, was jeweils die sogenannte C-Parität des Teilchens ist.

Dies bedeutet jedoch, dass \mathcal C \, |\psi\rangle und \mathcal |\psi\rangle die gleichen Quantenladungen haben, weshalb nur neutrale Systeme Eigenzustände des C-Paritätsoperators sein können, d.h. das Photon sowie gebundene Teilchen-Antiteilchen-Zustände wie das neutrale Pion \pi^0\!\, oder das Positronium.

Literatur[Bearbeiten]

Siehe auch[Bearbeiten]