Lager (Statik)

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Balken auf zwei Stützlagern (Auflager); links: Festlager; rechts: Loslager
Die Abstützung auf den Spitzen der Dreiecksymbole drückt aus, dass das Lager Drehmomenten nicht entgegen wirkt, Drehungen also zulässt. Die kleinen Kreise auf den Spitzen deuten an, dass das Auflager als Drehlager anzusehen ist.

Lager im Sinne der Statik sind abstrahierte Verbindungen zwischen einem Starrkörper (Tragwerk) und seiner Umgebung, mit deren Hilfe Bewegungen des Körpers eingeschränkt und Kräfte aufgenommen werden. Die vom Lager ausgehenden Kraftgrößen, die den Kräften und Momenten des Körpers entgegenwirken, werden als Lagerreaktionen bezeichnet, siehe auch Actio und Reactio.

Lager, die zwei Körper bzw. Tragwerke miteinander verbinden, werden als Gelenke bezeichnet.[1] Nur wenn ein Tragwerk statisch bestimmt ist, lassen sich Lagerkräfte bzw. Reaktionen aufgrund der verschiedenen Lasten berechnen. Ein Tragwerk ist dann statisch bestimmt, wenn es durch äußere Kräfte nicht einfach verschoben werden kann (statisch unterbestimmt), oder äußere Kräfte zu Verformungen führen (statisch überbestimmt). Beispielsweise knickt ein beidseitig eingespannter Stab aus, wenn sich das Material erwärmt und damit ausdehnt, da keine der Einspannungen nachgibt.

Lager unterscheiden sich durch ihre Fähigkeit verschiedene Grundkräfte aufnehmen zu können. Im 2D Raum, sind das bist zu drei, denn jede Last, die auf ein Lager wirkt, kann in horizontale Kräfte, vertikale Kräfte und Momente (Drehmomente) zerlegt werden, siehe auch Kräfteparallelogramm. Im dreidimensionalen sind es bis zu sechs Kräfte, also je 3 translatorische Kräfte in die jeweiligen Achsenrichtungen, sowie je ein Moment um die entsprechende Achse. Somit kann ein Lager eine Wertigkeit zwischen 1 und 6 (bzw. 3) aufweisen.

Ein Lager, dass alle auftretenden Kräfte aufnehmen kann, wird als Einspannung bezeichnet.

Lagerarten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Feste und verschiebliche Einspannung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine (feste) Einspannung[2] ist ein Lager, das sowohl Verschiebungen in alle drei Richtungen als auch Verdrehungen um alle drei Achsen im Lagerpunkt unterbindet.

Ein Loslager auf dem Mittelpfeiler einer Eisenbahnbrücke. Die Fahrbahn ruht verschieblich auf Stahlrollen.

Eine verschiebliche Einspannung ist ein Gleitlager, welches Verschiebungen (meist in eine oder zwei Richtungen), aber keine der drei Verdrehungen im Lagerpunkt zulässt.[2]

Festlager (Fixlager) und Loslager (verschiebliches Lager)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Siehe auch: Fest-Los-Lagerung (Maschinenbau)

Ein Festlager unterbindet alle Verschiebungen und ermöglicht eine oder mehrere Verdrehungen im Lagerpunkt.
Damit ein Körper sich nicht dreht oder kippt, muss er neben dem Festlager in der Ebene an mindestens einer weiteren Stelle, im Raum an mindestens zwei weiteren Stellen gelagert werden.[3]

Ein Loslager wird auch als verschiebliches Auflager oder Gleitlager bezeichnet. Es unterbindet eine oder zwei Verschiebungen (darunter gewöhnlich die Verschiebung durch die Gewichtskraft) und lässt die anderen Verschiebungen und eine oder mehrere Verdrehungen im Lagerpunkt zu.[3]

Die Begriffe Fest- und Loslager werden meist im Zusammenhang verwendet. Beispielsweise wird eine drehbar gelagerte Welle gewöhnlich mit einem unverschieblichen Kugel- oder Gleitlager als Festlager ausgeführt, um zu verhindern, dass die gesamte Welle sich verschiebt. Wäre ein weiteres Lager hingegen auch als Festlager ausgeführt, so würden Temperaturveränderung aufgrunde der Wärmedehnung des Materials der Welle zu einer axialen Zwangsspannung führen. Aus dem gleichen Grund werden Fest- und Loslager im Brückenbau angewendet.

Eine durch entsprechende Anordnung von Fest- und Loslagern statisch bestimmte Konstruktion läßt sich einfach berechnen, da keine Rücksicht auf zusätzliche Kräfte und Momente durch Zwangsspannungen in den Lagern genommen werden muss, die bei einer Belastung von statisch überbestimmten Tragwerken entstehen.

Symbole der Lagerarten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die drei häufigsten Symbole in ebenen Tragsystemen:

Der Kreis an der Spitze der Dreiecke symbolisiert ein Drehgelenk.

Fest- und Loslager mit Gelenk werden auch als unverschiebliche bzw. verschiebliche Gelenklager bezeichnet.[4]

Berechnung der Lagerreaktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei einem statisch bestimmten Tragwerk lassen sich Lagerkräfte mithilfe der Gleichgewichtsbedingungen berechnen:

Die Gleichungen drücken aus, dass die Summe aller horizontalen Kräfte, vertikalen Kräfte und Momente (inklusive Lagerkräfte) bei einem ruhenden Körper jeweils gleich Null sein muss. Die einzelnen Lagerkräfte errechnen sich durch die Auflösung des Gleichungssystems.[5]

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der abgebildete gewichtslose Balken wird von einem Festlager A auf der linken und einem Loslager B auf der rechten Seite getragen. Auf der der rechten Seite greift eine Kraft F an. Da es sich bei A um ein Festlager handelt, kann Auflager A sowohl horizontale wie auch vertikale Kräfte aufnehmen. Lager B, das Loslager, kann hingegen nur vertikale Kräfte aufnehmen.

Simple beam load.png

Zunächst wird das Tragwerk freigeschnitten. Dafür ersetzt man die Lager durch die Kräfte die sie aufnehmen können und teilt die angreifende Kraft in ihre jeweiligen Komponenten. In dem Fall also und .

Force cut free beam.png

Damit können nun Gleichgewichtsbedingungen aufgestellt werden.

Die Summe aller horizontalen Kräfte ist:

ist also . Da hier einen negativen Wert ergibt, ist die im Bild angenommene Kraftrichtung nicht korrekt und die tatsächliche Auflagerkraft zeigt in die entgegengesetzte Richtung.

Die Summe aller vertikalen Kräfte ist:

Diese Gleichung mit zwei Unbekannten lässt sich erst durch zusätzliches Aufstellen des Momentengleichgewichts lösen. Dies kann prinzipiell an jedem Punkt getan werden. Hier wird das Momentengleichgewicht um Auflager B gebildet:

Man beachte, dass beide Kräfte positiv aufgeführt sind, obwohl sie in unterschiedliche Richtungen zeigen, da beide Kräfte im Balken ein Drehmoment im Uhrzeigersinn auslösen. (Bei Aufstellung des Momentengleichgewichts um Auflager A würden die Kräfte entgegenlaufende Drehmomente bewirken.) Durch Auflösen der Gleichung erhält man für :

Auch hier ist die Kraft im Lager A negativ. Das Lager hält also den Balken mit der Auflagerkraft nach unten. Ist das Lager nicht dazu fähig, würde der Balken nach oben kippen und sich um Punkt B drehen. (Es muss darauf geachtet werden, dass das statische Modell die Wirklichkeit auch gut abbildet, bzw. man sollte sich der Modellfehler bewusst sein.)

Mit dem Ergebnis für lässt sich jetzt nun durch Einsetzen berechnen:

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Baustatik 1 - Gelenke, In: Ingenieurkurse.de; abgerufen im März 2020
  2. a b Sigurd Falk: Biegen, Knicken und Schwingen des mehrfeldrigen geraden Balkens. In: Abhandl. Braunschweig. Wiss. Ges. Band 7, 1955, S. 74–92 (archive.org [PDF]).
  3. a b Bernd Markert: Mechanik 1, Stereostatik, Statik starrer Körper. Aachen 2014, S. 73–77.
  4. Dietmar Gross, Werner Hauger, Jörg Schröder, Wolfgang A. Wall: Technische Mechanik 1. 2019, doi:10.1007/978-3-662-59157-4 (springer.com [abgerufen am 12. Oktober 2020]).
  5. Dietmar Gross, Werner Hauger, Jörg Schröder, Wolfgang A. Wall: Technische Mechanik 1. 2019, doi:10.1007/978-3-662-59157-4 (springer.com [abgerufen am 12. Oktober 2020]).