Lambertsche W-Funktion

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Der Graph von W(x) für W > −4 und x < 6. Der obere Zweig W ≥ −1 ist die Funktion W0 (principal branch), der untere Zweig mit W ≤ −1 ist die Funktion W−1.

In der Mathematik ist die lambertsche W-Funktion (oder Lambert-W-Funktion), auch Omegafunktion oder Produktlogarithmus, benannt nach Johann Heinrich Lambert, die Umkehrfunktion von

wobei die Exponentialfunktion ist. Die lambertsche W-Funktion wird meistens mit bezeichnet. Es gilt

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die zwei Funktionsäste und

Da die Funktion auf dem Intervall nicht injektiv ist, besitzt die lambertsche W-Funktion auf dem Intervall zwei Funktionsäste und . Mit wird aber in der Regel der obere der Äste bezeichnet.

Die W-Funktion kann nicht als elementare Funktion ausgedrückt werden.

Zumeist wird sie in der Kombinatorik verwendet, beispielsweise zur Auswertung von Bäumen oder zur asymptotischen Bestimmung der Bell-Zahlen.

Die Ableitungsfunktion eines Astes der W-Funktion kann mit Hilfe des Satzes über die Ableitung der Umkehrfunktion gefunden werden (an der Stelle existiert die Ableitung nicht, ihr Betrag wächst bei hinreichender Annäherung an diese Stelle in jedem Ast über alle Schranken):

Insbesondere ergibt sich daraus für den oberen Ast (der untere Ast ist für gar nicht definiert). An allen anderen Stellen des jeweiligen Definitionsbereiches braucht man nur durch und dann durch oder zu ersetzen, um den Grenzübergang auszuführen und damit die Ableitung des jeweiligen Astes an einer Stelle zu erhalten.

Die Ableitungen höherer Ordnung haben die Form

wobei die Polynome sind, welche sich aus folgender Rekursionsformel berechnen lassen:

Ausgehend von ergeben sich damit die nächsten drei Ableitungen zu:

Eine Stammfunktion ergibt sich durch Substitution des gesamten Integranden:

Durch implizite Differentiation kann man zeigen, dass W folgender Differentialgleichung genügt:

Die Taylor-Reihe von in ist gegeben durch

Der Konvergenzradius beträgt .

Spezielle Werte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  (die Omega-Konstante[1])

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Verwendung außerhalb der Kombinatorik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die lambertsche W-Funktion kann gebraucht werden, um Gleichungen vom Typus

zu lösen ( ist ein beliebiger, von abhängiger Ausdruck).

Auch die Gleichung

kann mit Hilfe der lambertschen W-Funktion gelöst werden. Die Lösung lautet

Der infinite (unendliche) Potenzturm

kann an den konvergenten Stellen mit der W-Funktion in geschlossene Form gebracht werden, was auch die Ableitung ermöglicht:

Verallgemeinerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit Hilfe der normalen lambertschen W-Funktion lassen sich die exakten Lösungen „transzendenter algebraischer“ Gleichungen (in x) folgender Form ausdrücken:

wobei und reelle Konstanten sind. Die Lösung ist . Verallgemeinerungen der lambertschen W-Funktion[2][3][4] umfassen:

Hierbei sind und voneinander verschiedene reelle Konstanten, die Wurzeln des quadratischen Polynoms. Die Lösung ist eine Funktion allein des Arguments , aber und sind Parameter dieser Funktion. Insofern ähnelt diese Verallgemeinerung der hypergeometrischen Funktion und der Meijerschen G-Funktion, aber sie gehört zu einer anderen "Klasse" von Funktionen. Wenn , so können beide Seiten von (2) faktorisiert und auf (1) reduziert werden, so dass sich die Lösung auf die normale lambertsche W-Funktion reduziert. Gleichung (2) entspricht der Gleichung für das „Dilaton“-Feld, von welchem die Metrik des „linealen“ Zwei-Körper-Gravitationsproblems in 1+1 Dimensionen (eine räumliche und eine zeitliche Dimension) für den Fall ungleicher (Ruhe-)Massen abgeleitet ist, sowie dem Problem der Eigenwertberechnung für das quantenmechanische Doppelminimum-Dirac-Deltafunktions-Modell in einer Dimension und mit „ungleichen“ Ladungen.
  • Analytische Lösungen der Energie-Eigenwerte für einen speziellen Fall des quantenmechanischen Analogons des Eulerschen Drei-Körper-Problems, nämlich des (drei-dimensionalen) Wasserstoffmolekül-Ions.[6] Hier ist nun die rechte Seite von (1) (oder (2)) das Verhältnis von zwei Polynomen unendlicher Ordnung in x:
wobei und unterschiedliche reelle Konstanten sind, und ist eine Funktion des Energie-Eigenwertes und des Kern-Kern-Abstands . Gleichung (3), mit den Spezialfällen (1) und (2), steht in Beziehung zu einer großen Klasse retardierter Differentialgleichungen. Mit Hilfe von Hardys Begriff der "falschen Ableitung" wurden exakte mehrfache Wurzeln für spezielle Fälle von Gleichung (3) gefunden.[7]. Die Anwendungen der lambertschen W-Funktion auf grundlegende physikalische Probleme sind damit selbst für die normale lambertsche W-Funktion, siehe (1), keineswegs erschöpft. Dies zeigen jüngste Beispiele aus dem Gebiet der Atom-, Molekül-, und optischen Physik.[8]

Numerische Berechnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Folge von Näherungen an die W-Funktion kann rekursiv mithilfe der Beziehung

berechnet werden.[9] Alternativ kann auch das Newton-Verfahren zur Lösung der Gleichung verwendet werden:

.

Tabelle reeller Funktionswerte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

oberer Zweig:

unterer Zweig:

Andere Werte lassen sich leicht über berechnen.

Eine Näherung von für große ist[10]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Omega constant in der englischsprachigen Wikipedia.
  2. T. C. Scott, R. B. Mann: General Relativity and Quantum Mechanics: Towards a Generalization of the Lambert W Function. In: AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing). 17 Nr. 1, April 2006. S. 41–47. acm.org; Arxiv-Artikel.
  3. T. C. Scott, G. Fee, J. Grotendorst: Asymptotic series of Generalized Lambert W Function. In: SIGSAM (ACM Special Interest Group in Symbolic and Algebraic Manipulation). 47, Nr. 185, 2013, S. 75–83.
  4. T. C. Scott, G. Fee, J. Grotendorst, W. Z. Zhang: Numerics of the Generalized Lambert W Function. In: SIGSAM. 48, Nr. 188, 2014, S. 42–56.
  5. P. S. Farrugia, R. B. Mann, T. C. Scott: N-body Gravity and the Schrödinger Equation. In: Class. Quantum Grav. 24, 2007, S. 4647–4659. iop.org; Arxiv-Artikel.
  6. T. C. Scott, M. Aubert-Frécon, J. Grotendorst: New Approach for the Electronic Energies of the Hydrogen Molecular Ion. In: Chem. Phys. 324: 2006. S. 323–338. doi:10.1016/j.chemphys.2005.10.031; Arxiv-Artikel.
  7. Aude Maignan, T. C. Scott: Fleshing out the Generalized Lambert W Function. In: SIGSAM. 50, Nr. 2, 2016, S. 45–60. doi:10.1145/2992274.2992275.
  8. T. C. Scott, A. Lüchow, D. Bressanini, J. D. Morgan III: The Nodal Surfaces of Helium Atom Eigenfunctions. In: Phys. Rev. A. 75:060101, 2007. scitation.aip.org.
  9. Corless u. a.: On the Lambert W function. (PDF; 311 kB). In: Adv. Computational Maths. 5, 1996, S. 329–359.
  10. Eric W. Weisstein: Lambert W-Function. In: MathWorld (englisch).