Legendre-Konstante

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Die ersten 100.000 Glieder der Folge an = ln(n)−n/π(n) (rot) deuten eine Konvergenz gegen 1,08366 (blau) an.

Die Legendre-Konstante ist eine mathematische Konstante, die in einer 1798 von Adrien-Marie Legendre aufgestellten Formel auftritt, welche die Anzahl der Primzahlen abschätzt, die nicht größer als eine gegebene Zahl n sind. Ihr Wert wurde später als genau 1 bestimmt.

Legendre vermutete auf Grund seiner Überlegungen zur Häufigkeit von Primzahlen, dass der folgende Grenzwert existiert:

\lim_{n \to \infty} \biggl(\!\ln(n) - \frac{n}{\pi(n)}\biggr) = B,

dabei ist \ln(n) der natürliche Logarithmus von n, \pi(n) die Anzahl der Primzahlen, die nicht größer als n sind, und B die Legendre-Konstante, welche Legendre mit Hilfe von Berechnungen bis zunächst n=400.000, später n=1.000.000, auf etwa 1,08366 schätzte. Aus der Existenz der Konstanten folgt, unabhängig von deren genauem Wert, der Primzahlsatz.

Tschebyschef bewies 1849,[1] dass dieser Grenzwert B den Wert 1 hat, sofern er existiert. Ein einfacher Beweis wurde von Pintz[2] 1980 angegeben.

Es ist eine direkte Folgerung des Primzahlsatzes, in folgender präziser Form von Charles de La Vallée Poussin,[3]

 \pi(x)={\rm Li} (x) + O \left(x \mathrm{e}^{-a\sqrt{\ln x}}\right) \quad\text{wenn } x \to \infty

(für eine positive Konstante a, wo O(…) das Landau-Symbol ist), dass B tatsächlich existiert und 1 ist. Der Primzahlsatz wurde 1896 unabhängig von Jacques Hadamard[4] und Charles de La Vallée Poussin[5] (ohne Restabschätzung) bewiesen.

Literatur und Quellen[Bearbeiten]

  • Adrien-Marie Legendre: Essai sur la théorie des nombres, Duprat, Paris 1798, S. 19; 2. Auflage, Courcier, Paris 1808, S. 394; Théorie des nombres (Band 2), 3. Auflage, Didot, Paris 1830, S. 65 (französisch)
  1. Edmund Landau. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Seite 17. Third (corrected) edition, two volumes in one, 1974, Chelsea 1974.
  2. J. Pintz. On Legendre’s prime number formula. Amer. Math. Monthly 87 (1980), 733–735.
  3. La Vallée Poussin, C. Mém. Couronnés Acad. Roy. Belgique 59, 1–74, 1899
  4. Sur la distribution des zéros de la fonction \zeta(s) et ses conséquences arithmétiques, Bulletin de la Société Mathématique de France, Vol. 24, 1896, pp. 199–220 Online
  5. « Recherches analytiques sur la théorie des nombres premiers », Annales de la société scientifique de Bruxelles, vol. 20,‎ 1896, S. 183–256 und 281–361

Weblink[Bearbeiten]