Legendre-Symbol

Das Legendre-Symbol ist eine Kurzschreibweise, die in der Zahlentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, verwendet wird. Es ist nach dem französischen Mathematiker Adrien-Marie Legendre benannt.

Definition und Notation

Das Legendre-Symbol gibt an, ob die Zahl $a$$a$ quadratischer Rest modulo p oder quadratischer Nichtrest modulo p ist. Dabei muss $p$$p$ eine Primzahl sein. Es gilt

$\left({\frac {a}{p}}\right)={\begin{cases}1&{\mbox{wenn }}a{\mbox{ quadratischer Rest modulo }}p{\mbox{ ist}}\\-1&{\mbox{wenn }}a{\mbox{ quadratischer Nichtrest modulo }}p{\mbox{ ist}}\\0&{\mbox{wenn }}a{\mbox{ ein Vielfaches von }}p{\mbox{ ist}}\end{cases}}$$\left({\frac {a}{p}}\right)={\begin{cases}1&{\mbox{wenn }}a{\mbox{ quadratischer Rest modulo }}p{\mbox{ ist}}\\-1&{\mbox{wenn }}a{\mbox{ quadratischer Nichtrest modulo }}p{\mbox{ ist}}\\0&{\mbox{wenn }}a{\mbox{ ein Vielfaches von }}p{\mbox{ ist}}\end{cases}}$

Das Legendre-Symbol ist ein Spezialfall des Jacobi-Symbols, das die gleiche Schreibweise hat. Weitere Notationsvarianten für das Legendre-Symbol sind $(a/p)$$(a/p)$ und $L(a,p)$$L(a,p)$.

Berechnung

Das Eulersche Kriterium gibt an, wie sich das Legendre-Symbol für eine ungerade Primzahl $p$$p$ berechnen lässt:

$\left({\frac {a}{p}}\right)\equiv a^{\frac {p-1}{2}}{\pmod {p}}$$\left({\frac {a}{p}}\right)\equiv a^{{{\frac {p-1}{2}}}}{\pmod p}$

Für die einzige gerade Primzahl $2$$2$ gilt:

$-1\equiv 1{\pmod {2}}$$-1 \equiv 1 \pmod 2$

Jede ungerade Zahl ist quadratischer Rest und jede gerade Zahl ist ein Vielfaches des Moduls 2, modulo 2 gibt es also keine Nichtreste:

$L(a,2)=a{\bmod {2}}$$L(a,2) = a \bmod 2$

Eine weitere Berechnungsmöglichkeit liefert das Lemma von Zolotareff, nach dem für ungerade Primzahlen

$\left({\frac {a}{p}}\right)=\operatorname {sgn} (\pi _{a,p})$$\left(\frac{a}{p}\right) = \operatorname{sgn}(\pi_{a,p})$

gilt, wobei

$\pi _{a,p}(k)\equiv a\cdot k{\pmod {p}}$$\pi _{{a,p}}(k)\equiv a\cdot k{\pmod p}$

eine Permutation der Zahlen von $0$$0$ bis $p-1$$p-1$ darstellt und $\operatorname {sgn}$$\operatorname{sgn}$ das Vorzeichen einer Permutation bezeichnet.

Beispiele

2 ist quadratischer Rest modulo 7 – in der Tat ist ja $2\equiv 3^{2}{\pmod {7}}$$2\equiv 3^{2}{\pmod 7}$:

$\left({\frac {2}{7}}\right)\equiv 2^{\frac {7-1}{2}}=2^{3}\equiv 1\mod 7$$\left(\frac{2}{7}\right) \equiv 2^{\frac{7-1}{2}}= 2^3 \equiv 1\mod 7$

5 ist quadratischer Nichtrest modulo 7:

$\left({\frac {5}{7}}\right)\equiv 5^{\frac {7-1}{2}}=5^{3}\equiv 6\equiv -1\mod 7$$\left(\frac{5}{7}\right) \equiv 5^{\frac{7-1}{2}} = 5^3 \equiv 6 \equiv -1 \mod 7$

14 ist durch 7 teilbar (also weder Rest noch Nichtrest von 7):

$\left({\frac {14}{7}}\right)\equiv 14^{\frac {7-1}{2}}=14^{3}\equiv 0\mod 7$$\left({\frac {14}{7}}\right)\equiv 14^{{{\frac {7-1}{2}}}}=14^{3}\equiv 0\mod 7$

Rechenregeln

Das quadratische Reziprozitätsgesetz macht wichtige Aussagen über das Rechnen mit dem Legendre-Symbol.

Es seien nun $a,b\in \mathbb {Z}$$a,b\in \mathbb{Z }$ und $p$$p$ eine Primzahl. Dann gelten folgende Rechenregeln:

• $a\equiv b{\pmod {p}}\Rightarrow \left({\frac {a}{p}}\right)=\left({\frac {b}{p}}\right)$$a\equiv b{\pmod p}\Rightarrow \left({\frac {a}{p}}\right)=\left({\frac {b}{p}}\right)$
• $\left({\frac {a}{p}}\right)\cdot \left({\frac {b}{p}}\right)=\left({\frac {a\cdot b}{p}}\right)$$\left({\frac {a}{p}}\right)\cdot \left({\frac {b}{p}}\right)=\left({\frac {a\cdot b}{p}}\right)$
• $\sum _{k=1}^{p-1}\left({\frac {k}{p}}\right)=0$$\sum _{{k=1}}^{{p-1}}\left({\frac {k}{p}}\right)=0$ für $p\neq 2$$p\neq 2$.

Die besondere Stellung der Zahl 3

Die Zahl 3 liefert bei der Ganzzahldivision als Modulo die Werte 0, 1 und -1 zurück. Dies entspricht genau den Werten des Legendre-Symbols. Es gilt also:

$\left({\frac {a}{3}}\right)\equiv a^{\frac {3-1}{2}}\ \operatorname {mod} \ 3=a\ \operatorname {mod} \ 3$$\left(\frac{a}{3}\right) \equiv a^{\frac{3-1}{2}}\ \operatorname{mod}\ 3 = a \ \operatorname{mod}\ 3$

Andererseits gilt auch:

$\left({\frac {3}{p}}\right)=\prod _{l=1}^{\frac {p-1}{2}}\left[3-4\,\sin ^{2}{\left({\frac {2\pi l}{p}}\right)}\right]$$\left({\frac {3}{p}}\right)=\prod _{{l=1}}^{{{\frac {p-1}{2}}}}\left[3-4\,\sin ^{2}{\left({\frac {2\pi l}{p}}\right)}\right]$