Das Legendre-Symbol ist eine Kurzschreibweise, die in der Zahlentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, verwendet wird. Es ist nach dem französischen Mathematiker Adrien-Marie Legendre benannt.
Das Legendre-Symbol gibt an, ob die Zahl
quadratischer Rest modulo
oder quadratischer Nichtrest modulo
ist. Dabei ist
eine ganze Zahl und
eine ungerade Primzahl.
Es gilt

Das Legendre-Symbol ist ein Spezialisierung des Jacobi-Symbols, das wiederum eine Spezialisierung des Kronecker-Symbols ist. Alle drei Symbole benutzen daher unmissverständlich dieselbe Schreibweise. Weitere Notationsvarianten für das Legendre-Symbol sind
und
.
Das eulersche Kriterium gibt eine mögliche Berechnungsmethode zum Legendre-Symbol an:
.
Eine weitere Berechnungsmöglichkeit liefert das Lemma von Zolotareff mit

wobei
, die durch

definierte Permutation der Zahlen von
ist, und
das Vorzeichen einer Permutation bezeichnet.
2 ist quadratischer Rest modulo 7 – in der Tat ist ja
:

5 ist quadratischer Nichtrest modulo 7:

14 ist durch 7 teilbar (also weder Rest noch Nichtrest von 7):

Das quadratische Reziprozitätsgesetz macht wichtige Aussagen über das Rechnen mit dem Legendre-Symbol.
Außerdem gelten für alle ganze Zahlen
,
und alle Primzahlen
folgende Rechenregeln:


.
Es gilt



Diese speziellen Werte reichen aus, um jedes nicht-verschwindende Legendre-Symbol durch wiederholtes Aufteilen des „Zählers“ in Primfaktoren, Anwenden des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und modulo-Reduktion zu berechnen. So ist zum Beispiel

Die Zahl 3 liefert bei der Ganzzahldivision als Modulo die Werte 0, 1 und −1 zurück. Dies entspricht genau den Werten des Legendre-Symbols. Es gilt also:

Andererseits gilt auch:
![{\displaystyle \left({\frac {3}{p}}\right)=\prod _{l=1}^{\frac {p-1}{2}}\left[3-4\,\sin ^{2}{\left({\frac {2\pi l}{p}}\right)}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/866dc759fb9e95ee13ec36bdc5413bfc6dde4a70)
Siehe dazu unter Pythagoreische Primzahl.