Legendresche Vermutung

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Die Legendresche Vermutung (benannt nach dem Mathematiker Adrien-Marie Legendre) ist eine zahlentheoretische Aussage, die besagt, dass es für jede natürliche Zahl n mindestens eine Primzahl zwischen n^2 und (n+1)^2 gibt.

Die Frage nach dem Wahrheitswert dieser Vermutung ist eines der Landau-Probleme – benannt nach Edmund Landau, der sie auf dem Internationalen Mathematikerkongress in Cambridge 1912 zu den vier zur damaligen Zeit nicht attackierbaren Vermutungen über Primzahlen zählte.[1]

Die Vermutung ist unbewiesen. Die analoge Vermutung für Kubikzahlen bewies Albert Ingham: Für jedes hinreichend große n liegt zwischen n^3 und (n+1)^3 mindestens eine Primzahl.[2]

Beispiele[Bearbeiten]

Für n = 1, 2, 3, 4, 5 bestätigen die Primzahlen p = 2, 5, 11, 17, 29 die Vermutung.

Verwandtes[Bearbeiten]

Nach der Brocardschen Vermutung (benannt nach Henri Brocard) gibt es für jedes n>1 mindestens vier Primzahlen zwischen p_n^2 und p_{n+1}^2. Dabei ist p_n die n-te Primzahl (also p_1=2, p_2=3, …). Beispielsweise liegen zwischen p_2^2=9 und p_3^2=25 die fünf Primzahlen 11, 13, 17, 19, 23.

Auch diese Vermutung ist unbewiesen.[3]

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Eric W. Weisstein: Landau's Problems. In: MathWorld (englisch).
  2. Ingham: On the difference between consecutive primes. Quarterly Journal of Mathematics Oxford, Band 8, 1936, S. 255–266.
  3. Eric W. Weisstein: Brocard's Conjecture. In: MathWorld (englisch).