Leibniz-Kriterium

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Das Leibniz-Kriterium ist ein Konvergenzkriterium im mathematischen Teilgebiet der Analysis. Mit diesem Kriterium kann die Konvergenz einer unendlichen Reihe gezeigt werden. Benannt ist es nach dem Universalgelehrten Gottfried Wilhelm Leibniz, der das Kriterium 1682 veröffentlichte.[1]

Aussage des Kriteriums[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Partialsumme einer alternierende Reihe

Sei eine monoton fallende, reelle Nullfolge, dann konvergiert die alternierende Reihe

Über den Grenzwert der Reihe macht das Kriterium jedoch keine Aussage.

Das Kriterium gilt auch für monoton wachsende Nullfolgen.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit dem Leibniz-Kriterium kann beispielsweise die Konvergenz der alternierenden harmonischen Reihe und der Leibniz-Reihe gezeigt werden.

Alternierende harmonische Reihe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die alternierende harmonische Reihe

konvergiert nach dem Leibniz-Kriterium. Allerdings konvergiert sie nicht absolut.

Leibniz-Reihe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Leibniz-Reihe
.

Gegenbeispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Dieses Gegenbeispiel zeigt, dass es nicht genügt, wenn nur eine Nullfolge ist. Die Monotonie ist notwendig für dieses Kriterium. Betrachte die nicht-monotone Nullfolge

Die alternierende Reihe mit diesen Koeffizienten hat als ungerade Reihenglieder die negative harmonische Reihe, die divergiert. Daher ist auch die gesamte Reihe divergent.

Abschätzung des Grenzwerts[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Leibniz-Kriterium liefert eine Abschätzung für den Grenzwert, denn bei derartig alternierenden Reihen liegt der Grenzwert immer zwischen zwei aufeinanderfolgenden Partialsummen. Sei

die -te Partialsumme der Reihe

mit einer monoton fallenden Nullfolge .

Dann gilt für alle :

Es gibt zudem noch eine Fehlerabschätzung, das heißt eine Abschätzung des Restglieds der Summe nach Summanden:[2]

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wir betrachten die Teilfolge der Folge der Partialsummen. Da die Folge monoton fallend ist, gilt

,

das heißt die Folge ist ebenfalls monoton fallend. Sie ist außerdem nach unten beschränkt, denn

,

nachdem die Klammerausdrücke wegen der Monotonie der Folge größer gleich Null sind. Die Folge ist also nicht nur monoton fallend, sondern auch nach unten beschränkt und damit nach dem Monotoniekriterium konvergent. Die Folge ist ebenfalls konvergent (ähnliches Argument wie oben, aber monoton steigend) und hat denselben Grenzwert, da

wegen

gilt.[3]

Verallgemeinerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Leibniz-Kriterium stellt einen Spezialfall des allgemeineren Dirichlet-Kriteriums dar.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Leibniz criterion. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8 (online).
  2. Siehe http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/erlaeuterung/erlaeuterung286/
  3. Beweis nach Handbuch der Mathematik. Leipzig 1986, ISBN 3-8166-0015-8, S. 408–409. Im Unterschied zu diesem Artikel beginnt die Reihe im Buch mit , so dass sich ein kleiner Unterschied ergibt.