Lemma von Schwarz-Pick

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Das Lemma von Schwarz-Pick (nach Hermann Schwarz und Georg Alexander Pick) ist eine Aussage aus der Funktionentheorie über holomorphe Endomorphismen des Einheitkreises, die das Schwarzsche Lemma verallgemeinert. Im Rahmen der hyperbolischen Geometrie bedeutet es, dass holomorphe Endomorphismen Kontraktionen sind.

Aussage[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es bezeichne die Einheitskreisscheibe und sei eine holomorphe Funktion. Dann gilt für alle

und für alle

Die zweite Aussage folgt aus der ersten, indem man durch teilt und dann gegen gehen lässt.

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der hyperbolischen Geometrie ist

der hyperbolische Abstand. Die erste Ungleichung des Lemmas von Schwarz-Pick sagt demnach aus, dass holomorphe Funktionen bzgl. dieser Metrik Kontraktionen sind.

Ist und setzt man in der ersten Ungleichung , so erhält man als Spezialfall die Aussage des Schwarzschen Lemmas.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Wolfgang Fischer, Ingo Lieb: Funktionentheorie. Vieweg, Braunschweig u. a. 1980, ISBN 3-528-07247-4, (Vieweg-Studium 47: Aufbaukurs Mathematik).

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]