Lie-Ableitung

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In der Analysis bezeichnet die Lie-Ableitung (nach Sophus Lie) die Ableitung eines Vektorfeldes oder allgemeiner eines Tensorfeldes entlang eines Vektorfeldes. Auf dem Raum der Vektorfelder wird durch die Lie-Ableitung eine Lie-Klammer definiert, die Jacobi-Lie-Klammer genannt wird. Der Raum der Vektorfelder wird durch diese Operation zu einer Lie-Algebra.

In der Allgemeinen Relativitätstheorie und in der geometrischen Formulierung der Hamiltonschen Mechanik wird die Lie-Ableitung verwendet, um Symmetrien aufzudecken, diese zur Lösung von Problemen auszunutzen und beispielsweise Konstanten der Bewegung zu finden.

Lie-Ableitung für Funktionen[Bearbeiten]

Ist X ein Vektorfeld, so ist die Lie-Ableitung einer differenzierbaren Funktion f die Anwendung von X auf f:

\mathcal L_Xf=Xf.

Genauer:

Es seien M eine n-dimensionale \mathcal{C}^\infty-Mannigfaltigkeit, f\colon M \to \R eine glatte Funktion und X ein glattes Vektorfeld auf M. Die Lie-Ableitung \mathcal{L}_X f(p) der Funktion f nach X im Punkt p\in M ist definiert als die Richtungsableitung von f nach X(p):

\mathcal{L}_X f(p) := X_p(f) = d_p f(X(p))

In lokalen Koordinaten (x_1, ..., x_n) \colon U \subseteq M \to \R^n lässt sich das Vektorfeld darstellen als

X = \sum_{j=1}^n X_j \frac{\partial}{\partial x_j}, mit X_j \colon U \to \R.

Für die Lie-Ableitung ergibt sich dann

\mathcal{L}_X f(p)=  \sum_{j=1}^n X_j(p) \frac{\partial f}{\partial x_j} (p)

Lie-Ableitung von Vektorfeldern[Bearbeiten]

Definition[Bearbeiten]

Seien X und Y zwei Vektorfelder an der n-dimensionalen glatten Mannigfaltigkeit M und F_t der Fluss des Vektorfelds X. Dann ist die Lie-Ableitung \mathcal{L}_X Y von Y in Richtung X definiert durch

\mathcal{L}_X Y = \left. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \right|_{t=0} (F^*_t Y),

wobei F^*_t den Rücktransport des Flusses F_t meint.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Lie-Klammer[Bearbeiten]

Sind X und Y wieder zwei Vektorfelder, dann gilt für die Lie-Ableitung die Identität

(\mathcal{L}_X Y) f = X(Y(f)) - Y (X (f)),

wobei f eine glatte Funktion auf einer offenen Teilmenge der zugrundeliegenden Mannigfaltigkeit ist. Aus dieser Gleichung kann durch Nachrechnen gezeigt werden, dass (X,Y) \mapsto \mathcal{L}_X Y die Eigenschaften einer Lie-Klammer erfüllt. Daher schreibt man auch [X,Y] := \mathcal{L}_X Y. Insbesondere bildet also die Menge der Vektorfelder mit der Lie-Ableitung eine Lie-Algebra und ihre Lie-Klammer [\cdot,\cdot] wird Jacobi-Lie-Klammer genannt.[1][2]

Manchmal definiert man die Lie-Ableitung beziehungsweise Lie-Klammer direkt durch den Term X(Y(f)) - Y (X (f)). Dabei wird manchmal auch die Umgekehrte Vorzeichenkonvention, also [X,Y] := Y \circ X - X \circ Y verwendet.

Lokale Koordinaten[Bearbeiten]

In lokalen Koordinaten haben die Vektorfelder X beziehungsweise Y eine Darstellungen

X = \sum_{j=1}^n X_j \frac{\partial}{\partial x_j}

beziehungsweise

Y = \sum_{j=1}^n Y_j \frac{\partial}{\partial x_j}.

Für die Lie-Ableitung beziehungsweise Lie-Klammer gilt dann

[X,Y] = \sum_{j=1}^n 
\left( \sum_{k=1}^n X_k \frac{\partial Y_j}{\partial x_k} - \sum_{k=1}^n Y_k \frac{\partial X_j}{\partial x_k}\right) \frac{\partial}{\partial x_j} \,.

Lie-Ableitung von Tensorfeldern[Bearbeiten]

Definition[Bearbeiten]

Für ein Tensorfeld T und ein Vektorfeld X mit lokalem Fluss \Phi_t ist die Lie-Ableitung von T bezüglich X definiert als


\mathcal L_XT=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Phi_{t}^* T|_{t=0}\,.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Die Lie-Ableitung \mathcal L_X ist \R-linear in X und für festes X eine Derivation der Tensoralgebra, die mit der Kontraktion verträglich ist. Die Lie-Ableitung ist dadurch und durch ihre Werte auf Funktionen und Vektorfeldern bereits eindeutig charakterisiert.

Im Unterschied zu einem Zusammenhang ist \mathcal L_X nicht \mathcal C^\infty-linear in X.

Eigenschaften und Lie-Algebra[Bearbeiten]

Der Vektorraum \mathcal{C}^\infty(M,\R) aller glatten Funktionen M \to \R ist bezüglich der punktweisen Multiplikation eine Algebra. Die Lie-Ableitung bezüglich eines Vektorfeldes X ist dann eine \R-lineare Derivation \mathcal{L}_X : \mathcal{C}^\infty(M,\R) \to \mathcal{C}^\infty(M,\R), d.h. sie hat die Eigenschaften

  • \mathcal{L}_X ist \mathbb{R}-linear
  • \mathcal{L}_X(f g)=(\mathcal{L}_X f) g + f\mathcal{L}_X g (Leibniz-Regel)


Bezeichne \mathcal{X}(M) die Menge aller glatten Vektorfelder auf M, dann ist die Lie-Ableitung auch eine \R-lineare Derivation auf \mathcal{C}^\infty(M,\R) \times \mathcal{X}(M) , und es gilt:

Dadurch wird \mathcal{X}(M) zu einer Lie-Algebra.

Definition der Lie-Ableitung auf Differentialformen[Bearbeiten]

Sei M eine \mathcal{C}^\infty-Mannigfaltigkeit, X ein Vektorfeld auf M und \alpha \in \Lambda^{k+1}(M) eine (k+1)-Differentialform auf M. Durch Evaluation kann man eine Art inneres Produkt zwischen X und \alpha definieren:

(i_X\alpha) (X_1, \ldots, X_k) = (k+1)\alpha (X,X_1, \ldots, X_k)\,

und erhält die Abbildung:

i_X:\Lambda^{k+1}(M) \to \Lambda^k(M), \; \alpha \mapsto i_X\alpha

Diese Abbildung hat die folgenden Eigenschaften:

  • i_X ist R-linear
  • für beliebiges f\in \Lambda^0(M) gilt i_{fX}\alpha = fi_X\alpha
  • Sei \beta eine beliebige Differentialform über M und \alpha\in\Lambda^k(M)
i_X (\alpha \wedge \beta) = 
(i_X \alpha) \wedge \beta + (-1)^k \alpha \wedge (i_X \beta)

Weiter oben wurde die Lie-Ableitung bezüglich eines Vektorfeldes X für Funktionen über M definiert:

\mathcal{L}_Xf = i_X df

Für echte Differentialformen ist die Lie-Ableitung bezüglich eines Vektorfeldes X wie folgt definiert:

\mathcal{L}_X\alpha = \left(i_X\circ d\ + d\circ i_X\right) \alpha.

Sie hat die folgenden Eigenschaften:

  • \mathcal{L}_{fX}\alpha = f\mathcal{L}_X\alpha + df \wedge i_X \alpha
  • \mathcal{L}_X(\alpha\wedge\beta)=(\mathcal{L}_X\alpha)\wedge\beta+\alpha\wedge(\mathcal{L}_X\beta)
  • [\mathcal{L}_X,\mathcal{L}_Y]\alpha:=
\mathcal{L}_X\mathcal{L}_Y\alpha-\mathcal{L}_Y\mathcal{L}_X\alpha=\mathcal{L}_{[X,Y]}\alpha
  • [\mathcal{L}_X,i_Y]\alpha=[i_X,\mathcal{L}_Y]\alpha=i_{[X,Y]}\alpha

Literatur[Bearbeiten]

  • Uwe Storch, Hartmut Wiebe: Lehrbuch der Mathematik. Band 4: Analysis auf Mannigfaltigkeiten – Funktionentheorie – Funktionalanalysis. Spektrum, Heidelberg 2001, ISBN 3-8274-0137-2.
  • Sylvestre Gallot, Dominique Hulin, Jacques Lafontaine: Riemannian Geometry. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1990, ISBN 3-540-52401-0

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. R. Abraham, Jerrold E. Marsden, T. Ratiu: Manifolds, tensor analysis, and applications (= Applied mathematical sciences 75). 2. Auflage. Springer, New York NY u. a. 1988, ISBN 0-387-96790-7, S 277–279.
  2.  Anthony M. Bloch: Nonholonomic mechanics and control. Springer, New York 2003, ISBN 0-387-95535-6, S. 87.