Lie-Ableitung

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In der Analysis bezeichnet die Lie-Ableitung (nach Sophus Lie) die Ableitung eines Vektorfeldes oder allgemeiner eines Tensorfeldes entlang eines Vektorfeldes. Auf dem Raum der Vektorfelder wird durch die Lie-Ableitung eine Lie-Klammer definiert, die Jacobi-Lie-Klammer genannt wird. Der Raum der Vektorfelder wird durch diese Operation zu einer Lie-Algebra.

In der Allgemeinen Relativitätstheorie und in der geometrischen Formulierung der Hamiltonschen Mechanik wird die Lie-Ableitung verwendet, um Symmetrien aufzudecken, diese zur Lösung von Problemen auszunutzen und beispielsweise Konstanten der Bewegung zu finden.

Lie-Ableitung für Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist ein Vektorfeld, so ist die Lie-Ableitung einer differenzierbaren Funktion die Anwendung von auf :

.

Genauer: Es seien eine -dimensionale -Mannigfaltigkeit, eine glatte Funktion und ein glattes Vektorfeld auf . Die Lie-Ableitung der Funktion nach im Punkt ist definiert als die Richtungsableitung von nach :

In lokalen Koordinaten lässt sich das Vektorfeld darstellen als

, mit .

Für die Lie-Ableitung ergibt sich dann

.

Lie-Ableitung von Vektorfeldern[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien und zwei Vektorfelder an der -dimensionalen glatten Mannigfaltigkeit und der Fluss des Vektorfelds . Dann ist die Lie-Ableitung von in Richtung definiert durch

,

wobei den Rücktransport des Flusses meint.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Lie-Klammer[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sind und wieder zwei Vektorfelder, dann gilt für die Lie-Ableitung die Identität

,

wobei eine glatte Funktion auf einer offenen Teilmenge der zugrundeliegenden Mannigfaltigkeit ist. Aus dieser Gleichung kann gezeigt werden, dass die Eigenschaften einer Lie-Klammer erfüllt. Daher schreibt man auch . Insbesondere bildet also die Menge der Vektorfelder mit der Lie-Ableitung eine Lie-Algebra und ihre Lie-Klammer wird Jacobi-Lie-Klammer genannt.[1][2]

Manchmal definiert man die Lie-Ableitung beziehungsweise Lie-Klammer direkt durch den Term . Dabei wird manchmal auch die Umgekehrte Vorzeichenkonvention, also verwendet.

Lokale Koordinaten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In lokalen Koordinaten haben die Vektorfelder beziehungsweise eine Darstellungen

beziehungsweise

.

Für die Lie-Ableitung beziehungsweise Lie-Klammer gilt dann

Lie-Ableitung von Tensorfeldern[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für ein Tensorfeld und ein Vektorfeld mit lokalem Fluss ist die Lie-Ableitung von bezüglich definiert als

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Lie-Ableitung ist -linear in und für festes eine Derivation der Tensoralgebra, die mit der Kontraktion verträglich ist. Die Lie-Ableitung ist dadurch und durch ihre Werte auf Funktionen und Vektorfeldern bereits eindeutig charakterisiert.

Im Unterschied zu einem Zusammenhang ist nicht -linear in .

Eigenschaften und Lie-Algebra[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Vektorraum aller glatten Funktionen ist bezüglich der punktweisen Multiplikation eine Algebra. Die Lie-Ableitung bezüglich eines Vektorfeldes ist dann eine -lineare Derivation , d. h., sie hat die Eigenschaften

  • ist -linear
  • (Leibniz-Regel)

Bezeichne die Menge aller glatten Vektorfelder auf , dann ist die Lie-Ableitung auch eine -lineare Derivation auf , und es gilt:

  • (Leibniz-Regel)
  • (Jacobi-Identität)

Dadurch wird zu einer Lie-Algebra.

Definition der Lie-Ableitung auf Differentialformen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine -Mannigfaltigkeit, ein Vektorfeld auf und eine -Differentialform auf . Durch Evaluation kann man eine Art inneres Produkt zwischen X und definieren:

und erhält die Abbildung:

Diese Abbildung hat die folgenden Eigenschaften:

  • ist R-linear
  • für beliebiges gilt
  • Sei eine beliebige Differentialform über M und

Weiter oben wurde die Lie-Ableitung bezüglich eines Vektorfeldes für Funktionen über definiert:

Für echte Differentialformen ist die Lie-Ableitung bezüglich eines Vektorfeldes wie folgt definiert:

.

Sie hat die folgenden Eigenschaften:

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Uwe Storch, Hartmut Wiebe: Lehrbuch der Mathematik. Band 4: Analysis auf Mannigfaltigkeiten – Funktionentheorie – Funktionalanalysis. Spektrum, Heidelberg 2001, ISBN 3-8274-0137-2.
  • Sylvestre Gallot, Dominique Hulin, Jacques Lafontaine: Riemannian Geometry. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1990, ISBN 3-540-52401-0

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. R. Abraham, Jerrold E. Marsden, T. Ratiu: Manifolds, tensor analysis, and applications (= Applied mathematical sciences 75). 2. Auflage. Springer, New York NY u. a. 1988, ISBN 0-387-96790-7, S 277–279.
  2. Anthony M. Bloch: Nonholonomic mechanics and control. Springer, New York 2003, ISBN 0-387-95535-6, S. 87.