Lie-Algebra

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Eine Lie-Algebra, benannt nach Sophus Lie, ist eine algebraische Struktur, die mit einer Lie-Klammer versehen ist, d. h. es existiert ein antisymmetrischer Automorphismus, der die Jacobi-Identität erfüllt. Eine Lie-Algebra ist ein Spezialfall einer algebraischen Struktur, die hauptsächlich zum Studium geometrischer Objekte wie Lie-Gruppen und differenzierbarer Mannigfaltigkeiten eingesetzt wird.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Lie-Algebra ist ein Vektorraum über einem Körper zusammen mit einer inneren Verknüpfung

welche Lie-Klammer genannt wird und den folgenden Bedingungen genügt:

  • Sie ist bilinear, das heißt linear in beiden Argumenten. Es gilt somit und für alle und alle .
  • Sie genügt der Jacobi-Identität. Die Jacobi-Identität lautet: gilt für alle .
  • Es gilt für alle .

Die erste und dritte Eigenschaft implizieren zusammengenommen die Antisymmetrie für alle . Wenn der Körper nicht Charakteristik 2 hat, so kann man aus der Antisymmetrie alleine wieder die dritte Eigenschaft herleiten (man wähle ).

Lie-Klammern sind im Allgemeinen nicht assoziativ: muss nicht gleich sein. Jedoch gilt für Lie-Klammern immer das Flexibilitätsgesetz .

Anstelle eines Körpers und eines Vektorraums lässt sich eine Lie-Algebra allgemeiner für einen kommutativen unitären Ring definieren.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus der Algebra[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Der Vektorraum bildet eine Lie-Algebra, wenn man die Lie-Klammer als das Kreuzprodukt definiert.
  • Die allgemeine lineare Lie-Algebra für einen -Vektorraum ist die Lie-Algebra der Endomorphismen von mit dem Kommutator
als Lie-Klammer. Ist speziell , so schreibt man oder statt .
  • Die Endomorphismen mit Spur in bilden ebenfalls eine Lie-Algebra. Sie heißt „spezielle lineare Lie-Algebra“ und wird mit bzw. bezeichnet. Diese Benennung leitet sich aus der Lie-Gruppe aller -Matrizen mit reellen Elementen und Determinante 1 ab, denn der Tangentialraum der Einheitsmatrix kann mit dem Raum aller reellen -Matrizen mit Spur 0 identifiziert werden, und die Matrizenmultiplikation der Lie-Gruppe liefert über den Kommutator die Lie-Klammer der Lie-Algebra.
  • Allgemeiner kann man jede assoziative Algebra zu einer Lie-Algebra machen, indem man als Lie-Klammer den Kommutator
wählt. Umgekehrt kann man zeigen, dass sich jede Lie-Algebra als eingebettet in eine assoziative Algebra mit einem Kommutator auffassen lässt, die sogenannte universelle einhüllende Algebra.
  • Die Derivationen auf einer (nicht notwendig assoziativen) Algebra werden mit der Kommutatorklammer zu einer Lie-Algebra.

Aus der Physik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Physik sind die Lie-Gruppen beziehungsweise wichtig, da sie Drehungen des reellen bzw. komplexen Raumes in Dimensionen beschreiben. Beispielsweise lautet die Kommutatorrelation der speziellen orthogonalen Gruppe zugrundeliegenden Lie-Algebra

in der Basis der drei -Matrizen

wobei das Levi-Civita-Symbol bezeichnet. Durch Anwenden des Matrixexponentials auf die Generatoren erhält man die drei Koordinatentranformationen für Drehungen um die Koordinatenachsen

.

Allgemein lässt sich jedes Element der Lie-Gruppe und somit jede beliebige Rotation im dreidimensionalen reellen Raum durch das Exponential einer Linearkombination von Basisvektoren der Lie-Algebra

darstellen.

Glatte Vektorfelder[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die glatten Vektorfelder auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit bilden eine unendlichdimensionale Lie-Algebra. Die Vektorfelder operieren als Lie-Ableitung auf dem Ring der glatten Funktionen. Seien zwei glatte Vektorfelder und eine glatte Funktion. Wir definieren die Lie-Klammer durch

.

Lie-Algebra einer Lie-Gruppe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Vektorraum der linksinvarianten Vektorfelder auf einer Lie-Gruppe ist unter dieser Kommutatoroperation abgeschlossen und bildet eine endlichdimensionale Lie-Algebra.

Glatte Funktionen mit der Poisson-Klammer[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die glatten Funktionen auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit bilden mit der Poisson-Klammer eine Lie-Algebra. Vergleiche Poisson-Mannigfaltigkeit.

Konstruktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus gegebenen Lie-Algebren kann man neue konstruieren, siehe dazu

Homomorphismus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien und zwei Lie-Algebren. Eine lineare Abbildung heißt Lie-Algebra-Homomorphismus, wenn für alle gilt.

In der Kategorie der Lie-Algebren sind die Lie-Algebren die Objekte und die Lie-Algebra-Homomorphismen die Pfeile.

Unteralgebra[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Unteralgebra einer Lie-Algebra ist ein Untervektorraum , der abgeschlossen unter der Lie-Klammer ist. Das heißt, für alle gilt . Eine Unteralgebra einer Lie-Algebra ist selbst eine Lie-Algebra.

Ideal[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Unteralgebra heißt Ideal, wenn für alle und gilt.

Die Ideale sind genau die Kerne der Lie-Algebra-Homomorphismen.

Auf dem Quotientenraum wird durch eine Lie-Algebra definiert, die Quotienten-Algebra. Dabei waren .

Satz von Ado[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Satz von Ado (nach dem russischen Mathematiker Igor Dmitrijewitsch Ado) besagt, dass jede endlichdimensionale komplexe Lie-Algebra isomorph zu einer Unteralgebra der für ein genügend großes ist. Das heißt, man kann jede endlichdimensionale komplexe Lie-Algebra als eine Lie-Algebra von Matrizen darstellen.

Typen von Lie-Algebren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Abelsche Lie-Algebra[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Lie-Algebra ist abelsch, wenn die Lie-Klammer identisch null ist.

Jeder Vektorraum bildet eine abelsche Lie-Algebra, wenn man jede Lie-Klammer als Null definiert.

Nilpotente Lie-Algebra[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine Lie-Algebra. Eine absteigende Zentralreihe wird durch

allgemein

definiert. Gelegentlich wird sie auch geschrieben.

Eine Lie-Algebra heißt nilpotent, wenn ihre absteigende Zentralreihe null wird, das heißt für einen Index gilt.

Satz von Engel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine endlichdimensionale komplexe Lie-Algebra, dann sind die beiden folgenden Aussagen äquivalent:

  1. Die Lie-Algebra ist nilpotent.
  2. Für jedes ist eine nilpotente lineare Abbildung.

Dieser Satz ist nach dem Mathematiker Friedrich Engel benannt.

Auflösbare Lie-Algebra[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine Lie-Algebra. Wir definieren die abgeleitete (oder derivierte) Reihe durch:

, allgemein .

Die abgeleitete Reihe wird gelegentlich auch o. ä. geschrieben.

Eine Lie-Algebra heißt auflösbar, wenn ihre abgeleitete Reihe schließlich null wird, d. h. für große . Das Cartan-Kriterium ist für den Fall der Charakteristik 0 des Grundkörpers eine äquivalente Bedingung. Aus dem Satz von Lie ergeben sich Eigenschaften endlichdimensionaler, auflösbarer, komplexer Lie-Algebren.

Eine maximale auflösbare Unteralgebra heißt Borel-Unteralgebra.

Das größte auflösbare Ideal in einer endlichdimensionalen Lie-Algebra ist die Summe aller auflösbaren Ideale und wird das Radikal der Lie-Algebra genannt.

Einfache Lie-Algebra[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Lie-Algebra heißt einfach, wenn sie kein nicht-triviales Ideal hat und nicht abelsch ist.

Bei den Lie-Algebren wird Einfachheit abweichend verwendet. Dies kann zu Verwirrungen führen. Wenn man eine Lie-Algebra als algebraische Struktur auffasst, so ist die Forderung, dass sie nicht abelsch sein darf, unnatürlich.

Halbeinfache Lie-Algebra[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Lie-Algebra heißt halbeinfach, wenn sie die direkte Summe von einfachen Lie-Algebren ist.

Für eine endlichdimensionale Lie-Algebra sind die folgenden Aussagen äquivalent:

  1. ist halbeinfach.
  2. Das Radikal von verschwindet, d. h. es gibt keine nichttrivialen auflösbaren Ideale.
  3. Cartan-Kriterium: Die Killing-Form: ist nicht entartet ( bezeichnet die Spur von Endomorphismen).

Satz von Weyl[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine halbeinfache, endlichdimensionale, komplexe Lie-Algebra, dann ist jede endlichdimensionale Darstellung von vollständig reduzibel, also als direkte Summe irreduzibler Darstellungen zerlegbar. Der Satz ist nach Hermann Weyl benannt.

Zerlegung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Halbeinfache Lie-Algebren haben eine Zerlegung

in eine Cartan-Unteralgebra und Wurzelräume , siehe Wurzelsystem#Lie-Algebren.

Klassifikation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Halbeinfache komplexe Lie-Algebren können anhand ihrer Wurzelsysteme klassifiziert werden; diese Klassifikation wurde 1900 von Élie Cartan abgeschlossen.

Reduktive Lie-Algebra[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Lie-Algebra heißt reduktiv, wenn

mit dem Zentrum der Lie-Algebra

gilt. In diesem Fall ist eine halbeinfache Lie-Algebra.

Eine Lie-Algebra ist genau dann reduktiv, wenn jede endlich-dimensionale Darstellung vollständig reduzibel ist. Insbesondere sind halbeinfache Lie-Algebren nach dem Satz von Weyl reduktiv.

Reelle Lie-Algebren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Auswahl reeller Lie-Algebren

  1. eindimensionale: mit
  2. Es gibt genau zwei Isomorphieklassen von zweidimensionalen reellen Lie-Algebren und zwar mit sowie .
  3. dreidimensionale:
    1. Heisenberg-Algebra
  4. sechsdimensionale:

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]