Lie-Klammer

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Die Lie-Klammer ist ein Objekt aus der Mathematik, insbesondere aus dem Bereich der Algebra und der Differentialgeometrie. Die Lie-Klammer ist die multiplikative Verknüpfung in einer Lie-Algebra, also eine Art Multiplikation auf einer Menge mit einer besonderen algebraischen Struktur. Beispiele für eine solche Verknüpfung sind die triviale Lie-Klammer, der Matrix-Kommutator, das Kreuzprodukt oder die Poisson-Klammer. Benannt sind die Lie-Klammer und die Lie-Algebra nach dem Mathematiker Sophus Lie.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein Vektorraum über dem Körper . Eine innere Verknüpfung

heißt Lie-Klammer, falls sie die folgenden drei Eigenschaften besitzt:[1]

  • Sie ist bilinear, das heißt linear in beiden Argumenten. Es gilt also
und
für alle und alle .
  • Es gilt für alle .
  • Sie genügt der Jacobi-Identität, das heißt, es gilt
für alle .

Ein Vektorraum zusammen mit einer Lie-Klammer wird Lie-Algebra genannt.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Antisymmetrie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus der ersten und der zweiten Eigenschaft der Definition folgt die Antisymmetrie der Lie-Klammer, das heißt für alle . Hat der Körper nicht die Charakteristik , so kann man aus der Antisymmetrie alleine wieder die Eigenschaft herleiten. Dazu setzt man .[1]

Flexibilität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Lie-Klammern sind im Allgemeinen nicht assoziativ, das heißt der Term muss nicht gleich dem Term sein. Jedoch erfüllt die Lie-Klammer das Flexibilitätsgesetz, es gilt also für alle Elemente .

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Triviale Lie-Klammer[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist ein beliebiger Vektorraum und sind und zwei Elemente des Raums, dann kann durch

immer eine Lie-Klammer definiert werden. Vektorräume mit einer trivialen Lie-Klammer werden auch als abelsche Lie-Algebren bezeichnet.

Matrix-Kommutator[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien , und drei -Matrizen mit Einträgen in einem Körper (zum Beispiel dem Körper der reellen oder dem Körper der komplexen Zahlen). Der Kommutator für quadratische Matrizen ist definiert durch

,

wobei mit die Matrixmultiplikation bezeichnet wird. Für gelten für den Kommutator die Rechenregeln

und

Daher ist der Kommutator auf dem Raum der -Matrizen eine Lie-Klammer.

Als konkretes Beispiel werden nun noch die Pauli-Matrizen

über dem Körper der komplexen Zahlen betrachtet. Bildet man den Kommutator von und , so gilt

Kreuzprodukt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Kreuzprodukt

Für ist das Kreuzprodukt

eine Lie-Klammer. Im Vergleich zu den Beispielen zuvor wird diese Multiplikation normalerweise nicht mit Klammern notiert. Die Bilinearität und die Identität können direkt an der Definition abgelesen werden. Um die Jacobi-Identität zu erkennen, muss der Term

komponentenweise ausgerechnet werden.

Lie-Klammer von Vektorfeldern[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Lie-Ableitung

Seien und zwei Vektorfelder auf der -dimensionalen glatten Mannigfaltigkeit . Die Lie-Ableitung ist dann definiert durch

.

Dieser Operator erfüllt die definierenden Eigenschaften einer Lie-Klammer. Daher schreibt man auch .[2]

Jacobi-Klammer[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien ein kommutativer Ring, eine kommutative Algebra über und zwei Derivationen von . Dann ist die durch

definierte Operation eine Lie-Klammer auf dem Raum der Derivationen. Sie wird Jacobi-Klammer genannt. Da die Vektorfelder aus dem vorigen Beispiel spezielle Derivationen sind und ihre Lie-Klammer entsprechend definiert ist, ist diese Lie-Klammer ein konkretes Beispiel für eine Jacobi-Klammer.[3]

Poisson-Klammer[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Poisson-Klammer

Die Poisson-Klammer ist eine zweistellige Operation, die auf der Algebra der glatten Funktionen operiert. Sie erfüllt die definierenden Eigenschaften einer Lie-Klammer und darüber hinaus noch die Produktregel

für alle glatten Funktionen , und . Oftmals werden Poisson-Klammern auf Funktionen angewandt, die von einer glatten Mannigfaltigkeit in die reellen Zahlen abbilden. Solche Mannigfaltigkeiten mit festgelegter Poisson-Klammer werden Poisson-Mannigfaltigkeiten genannt. Beispielsweise kann jede symplektische Mannigfaltigkeit auf natürliche Weise mit einer Poisson-Klammer versehen werden. In lokalen Koordinaten hat die Poisson-Klammer die Darstellung

.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. a b James E. Humphreys: Introduction to Lie algebras and representation theory. Springer, New York 1997, ISBN 3-540-90053-5, S. 4.
  2. R. Abraham, Jerrold E. Marsden, T. Ratiu: Manifolds, tensor analysis, and applications (= Applied mathematical sciences 75). 2. Auflage. Springer, New York NY u. a. 1988, ISBN 0-387-96790-7, S 278–279.
  3. Günter Scheja, Uwe Storch: Lehrbuch der Algebra [Elektronische Ressource]. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden 1988, ISBN 978-3-322-80092-3, S. 105–106.