Limes superior und Limes inferior von Mengenfolgen

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In der Mathematik sind der Limes superior und der Limes inferior einer Mengenfolge Begriffe aus der Maßtheorie und Wahrscheinlichkeitstheorie, die die Begriffe des Limes superior und Limes inferior von Zahlenfolgen und Funktionenfolgen für Mengenfolgen verallgemeinern. Sie dienen beispielsweise in der Stochastik zur Modellierung von Ereignissen, die unendlich oft auftreten oder zur Definition von konvergenten Mengenfolgen. Der Begriff geht auf Émile Borel zurück.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben sei eine Mengenfolge in der Obermenge . Dann heißt

der Limes inferior der Mengenfolge und

der Limes superior der Mengenfolge. Alternative Schreibweisen sind für den Limes inferior oder für den Limes superior.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Betrachte als Beispiel die Mengenfolge

auf der Grundmenge . Es ist nun

.

Daraus folgt direkt

Analog folgt für den Limes superior

und damit

Interpretation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Limes superior und inferior lässt sich wie folgt interpretieren:

Man kann sich dies an den Formeln klarmachen, wenn man die äußere Mengenoperation ausschreibt. Es ist dann

Dabei ist jede der Mengen ausgeschrieben

.

Vereinigt man nun alle der , um den Limes inferior zu bilden, so enthält die Vereinigungsmenge alle Elemente der Obermenge, die in mindestens einem enthalten sind. Dies ist äquivalent dazu, dass zu jedem Element ein Index existiert, so dass in jedem enthalten ist, wenn ist. Dies kann aber nur der Fall sein, wenn in allen bis auf endlich vielen enthalten ist.

Analog ergibt sich für den Limes superior

Dann sind die einzelnen Vereinigungsmengen

Schneidet man nun alle , um den Limes superior zu bilden, so enthält die Schnittmenge alle , die in jedem liegen. Dies sind dann aber genau die Elemente, die in unendlich vielen liegen.

Zusammenhang mit charakteristischen Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die charakteristischen Funktionen des Limes inferior bzw. Limes superior von Mengen sind der punktweise Limes inferior bzw. Limes superior der charakteristischen Funktionen der einzelnen Mengen: Aus

für

und

für

folgt

analog für lim sup.

Insgesamt gilt also

und

.

Verwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Limes superior von Mengenfolgen wird in der Wahrscheinlichkeitstheorie beispielsweise im Borel-Cantelli-Lemma oder im Kolmogorowschen Null-Eins-Gesetz verwendet, wo sie typische Beispiele von terminalen Ereignissen sind. Allgemeiner werden Limes superior und inferior dazu genutzt, um Konvergenz von Mengenfolgen zu definieren. Eine Mengenfolge konvergiert, wenn Limes inferior und superior übereinstimmen. Dies ist beispielsweise der Fall, wenn es zu jedem einen Index gibt, so dass entweder für alle oder für alle gilt. Konvergente Mengenfolgen treten beispielsweise in der Maßtheorie auf.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]