Lindeberg-Bedingung

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Die Lindeberg-Bedingung ist ein Begriff aus der Stochastik. Erfüllt eine Folge von stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen diese Bedingung, so gilt für sie der Zentrale Grenzwertsatz, auch wenn die Zufallsvariablen nicht zwingenderweise identisch verteilt sind. Allgemeiner lässt sich die Lindeberg-Bedingung auch für Schemata von Zufallsvariablen formulieren, hier ist dann sogar ein gewisses Maß an Abhängigkeit zwischen den Zufallsvariablen zulässig. Diese Formulierung spielt eine wichtige Rolle im zentralen Grenzwertsatz von Lindeberg-Feller, einer Verallgemeinerung des "gewöhnlichen" zentralen Granzwertsatzes.

Die Lindeberg-Bedingung wurde nach dem finnischen Mathematiker Jarl Waldemar Lindeberg benannt. Eine weitere hinreichende Bedingung für den zentralen Grenzwertsatz ist die Ljapunow-Bedingung.

Formulierung für Folgen von Zufallsvariablen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien unabhängige, quadratisch integrierbare Zufallsvariablen mit für alle und seien

.

Gilt dann die Lindeberg-Bedingung

,

so genügt die Folge dem zentralen Grenzwertsatz, d.h. die Größe

konvergiert in Verteilung für gegen eine standardnormalverteilte Zufallsgröße , sprich

,

wobei hier die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung beschreibt.

Umkehrung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Umkehrung des obigen Sachverhaltes gilt i.A. nicht. Hierfür ist eine zusätzliche Forderung an die Folge notwendig:

Die unabhängige Folge quadratisch integrierbarer, reeller Zufallsvariablen mit genüge dem zentralen Grenzwertsatz und erfülle weiter die Fellersche Bedingung

.

Dann erfüllt die Folge auch die Lindeberg-Bedingung.

Formulierung für Schemata von Zufallsvariablen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben sei ein zentriertes Schema von Zufallsvariablen , bei dem jede Zufallsvariable quadratintegrierbar ist und seien

die Summen über die zweiten Indizes. Das Schema erfüllt nun die Lindeberg-Bedingung, wenn für jedes gilt, dass

ist.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblink[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]