Lindeberg-Bedingung

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Die Lindeberg-Bedingung ist ein Begriff aus der Stochastik. Erfüllt eine Folge von stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen diese Bedingung, so gilt für sie der Zentrale Grenzwertsatz, auch wenn die Zufallsvariablen nicht zwingenderweise identisch verteilt sind. Allgemeiner lässt sich die Lindeberg-Bedingung auch für Schemata von Zufallsvariablen formulieren, hier ist dann sogar ein gewisses Maß an Abhängigkeit zwischen den Zufallsvariablen zulässig. Diese Formulierung spielt eine wichtige Rolle im zentralen Grenzwertsatz von Lindeberg-Feller, einer Verallgemeinerung des "gewöhnlichen" zentralen Granzwertsatzes.

Die Lindeberg-Bedingung wurde nach dem finnischen Mathematiker Jarl Waldemar Lindeberg benannt. Eine weitere hinreichende Bedingung für den zentralen Grenzwertsatz ist die Ljapunow-Bedingung.

Formulierung für Folgen von Zufallsvariablen[Bearbeiten]

Seien X_1, X_2, X_3, \ldots unabhängige, quadratisch integrierbare Zufallsvariablen mit {\sigma_n}^2 := \mbox{Var}(X_n)>0 für alle n\in\mathbb N und seien

s_n:=\sqrt[+]{\sum_{k=1}^n {\sigma_k}^2} \quad,\quad \mu_n:=\mbox{E}(X_n) \quad \forall\ n\in\mathbb N .

Gilt dann die Lindeberg-Bedingung

\forall\ \varepsilon>0:\quad \lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \mbox{E}\left(\frac{(X_i - \mu_i)^2}{s_n^2} \cdot 1_{\left\{| X_i - \mu_i| > \varepsilon s_n\right\}}\right) = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{s_n^2}\sum_{i=1}^n \int_{\left\{| x - \mu_i| > \varepsilon s_n\right\}} (x-\mu_i)^2 P_{X_i}(dx) = 0 ,

so genügt die Folge (X_i)_{i} dem zentralen Grenzwertsatz, d.h. die Größe

\frac{1}{s_n} \sum_{i=1}^n (X_i-\mu_i)

konvergiert in Verteilung für n\to\infty gegen eine standardnormalverteilte Zufallsgröße Z\sim\mathcal N(0,1), sprich

\forall\ z\in\mathbb R:\quad \lim_{n\rightarrow\infty}\mbox{P}\left(\frac1{s_n}\sum_{i=1}^n(X_i-\mu_i)\leq z\right) = \mbox{P}(Z\leq z) = \Phi(z) ,

wobei hier \Phi die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung beschreibt.

Umkehrung[Bearbeiten]

Die Umkehrung des obigen Sachverhaltes gilt i.A. nicht. Hierfür ist eine zusätzliche Forderung an die Folge X_1, X_2,\dots notwendig:

Die unabhängige Folge (X_i)_i quadratisch integrierbarer, reeller Zufallsvariablen mit \sigma_i^2>0\ \forall i genüge dem zentralen Grenzwertsatz und erfülle weiter die Fellersche Bedingung

\lim_{n\to\infty}\left(\max_{j\in\{1,...,n\}} \frac{\sigma_j}{s_n}\right) = 0 .

Dann erfüllt die Folge (X_i)_i auch die Lindeberg-Bedingung.

Formulierung für Schemata von Zufallsvariablen[Bearbeiten]

Gegeben sei ein zentriertes Schema von Zufallsvariablen  (X_{n,l}), bei dem jede Zufallsvariable  X_{n,l} quadratintegrierbar ist und seien

 S_n:=\sum_{l=1}^{k_n}X_{k,l}

die Summen über die zweiten Indizes. Das Schema erfüllt nun die Lindeberg-Bedingung, wenn für jedes  \varepsilon > 0 gilt, dass

 \lim_{n \to \infty}\frac{1}{\operatorname{Var}(S_n)}\sum_{l=1}^{k_n} \operatorname E \left( X_{n,l}^2\chi_{\{X^2_{n,l}> \varepsilon^2 \operatorname{Var}(S_n)\}}\right) = 0

ist.

Literatur[Bearbeiten]

Weblink[Bearbeiten]