Lindelöfsche Vermutung

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Die lindelöfsche Vermutung ist eine 1905 von Ernst Leonard Lindelöf aufgestellte[1] und bis heute unbewiesene Vermutung über die Ordnung der riemannschen Zetafunktion \zeta(s) entlang der „kritischen Geraden“ 1/2 + i t.

Die lindelöfsche Vermutung besagt, dass | \zeta(1/2 + i t) | = \mathcal{O}(t^\epsilon) für t \to \infty und jedes \epsilon > 0. Dabei ist \mathcal{O} das Bachmann-Landau-Symbol.

Bisher konnten nur schwächere Aussagen der Form | \zeta(1/2 + i t) | = \mathcal{O}(t^{k +\epsilon}) bewiesen werden: Der 1930 von Johannes van der Corput und Jurjen Koksma ermittelte Wert[2] k = 1/6 = 0,166\dots konnte seither schrittweise leicht verbessert werden, zuletzt auf k=89/570 = 0,156\dots von Martin Huxley[3].

Die lindelöfsche Vermutung ist schwächer als die riemannschen Vermutung: Mit einem Beweis der riemannschen Vermutung wäre auch die lindelöfsche Vermutung bewiesen, nicht jedoch umgekehrt.

Literatur[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. E. Lindelöf: Le calcul des résidus et ses applications dans la théorie des fonctions. Gauthier-Villars, Paris 1905.
  2. J-G. Van der Corput, J.-F- Koksma: Sur l'ordre de grandeur de la fonction ζ(s) de Riemann dans la bande critique. Annales de la faculté des sciences de l'Université de Toulouse, 3e série, Band 22, 1930, Seiten 1–39, PDF-Datei.
  3. M. N. Huxley: Exponential Sums and the Riemann Zeta Function V. Proceedings of the London Mathematical Society 2005 90(1):1-41, doi:10.1112/S0024611504014959