Lineare Einfachregression

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Zur Navigation springen Zur Suche springen
Dieses Streudiagramm zeigt eine konkrete empirische Regressionsgerade einer linearen Einfachregression, die bestmöglich durch die „Punktwolke“ der Messung gelegt wurde.

In der Statistik ist die lineare Einfachregression, oder auch einfache lineare Regression (kurz: ELR, selten univariate lineare Regression) genannt, ein regressionsanalytisches Verfahren und ein Spezialfall der linearen Regression. Die Bezeichnung einfach gibt an, dass bei der linearen Einfachregression nur eine unabhängige Variable verwendet wird, um die Zielgröße zu erklären. Ziel ist die Schätzung von Achsenabschnitt und Steigung der Regressionsgeraden sowie die Schätzung der Varianz der Störgrößen.

Einführung in die Problemstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Ziel einer Regression ist es, eine abhängige Variable durch eine oder mehrere unabhängige Variablen zu erklären. Bei der einfachen linearen Regression wird eine abhängige Variable durch lediglich eine unabhängige Variable erklärt. Das Modell der linearen Einfachregression geht daher von zwei metrischen Größen aus: einer Einflussgröße (auch: erklärende Variable, Regressor oder unabhängige Variable) und einer Zielgröße (auch: endogene Variable, abhängige Variable, erklärte Variable oder Regressand). Des Weiteren liegen Paare von Messwerten vor (die Darstellung der Messwerte im --Diagramm wird im Folgenden Streudiagramm bezeichnet), die in einem funktionalen Zusammenhang stehen, der sich aus einem systematischen und einem stochastischen Teil zusammensetzt:

Die stochastische Komponente beschreibt nur noch zufällige Einflüsse (z. B. zufällige Abweichungen wie Messfehler), alle systematischen Einflüsse sind in der systematischen Komponente enthalten. Die lineare Einfachregression stellt den Zusammenhang zwischen der Einfluss- und der Zielgröße mithilfe von zwei festen, unbekannten, reellen Parametern und auf lineare Weise her, d. h. die Regressionsfunktion wird wie folgt spezifiziert:

(Linearität)

Dadurch ergibt sich das Modell der linearen Einfachregression wie folgt: . Hierbei ist die abhängige Variable und stellt eine Zufallsvariable dar. Die -Werte sind beobachtbare, nicht zufällige Messwerte, der bekannten erklärenden Variablen ; die Parameter und sind unbekannte skalare Regressionsparameter und ist eine zufällige und unbeobachtbare Störgröße. Bei der einfachen linearen Regression wird also eine Gerade so durch das Streudiagramm gelegt, dass der lineare Zusammenhang zwischen und möglichst gut beschrieben wird.

Einführendes Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine renommierte Sektkellerei möchte einen hochwertigen Rieslingsekt auf den Markt bringen. Für die Festlegung des Abgabepreises soll zunächst eine Preis-Absatz-Funktion ermittelt werden. Dazu wird in Geschäften ein Testverkauf durchgeführt und man erhält sechs Wertepaare mit dem jeweiligen Ladenpreis einer Flasche (in Euro) sowie der Zahl der jeweils verkauften Flaschen :

Streudiagramm von Preis und abgesetzter Menge an Sektflaschen
Geschäft 1 2 3 4 5 6
Flaschenpreis 20 16 15 16 13 10
verkaufte Menge 0 3 7 4 6 10
Geschätzte Regressionskoeffizienten

Verwendete Symbole
, Mittel der Messwerte
, Messwerte

Auf die Vermutung, dass es sich um einen linearen Zusammenhang handelt, kommt man, wenn man das obige Streudiagramm betrachtet. Dort erkennt man, dass die eingetragenen Datenpunkte nahezu auf einer Linie liegen. Im Weiteren sind der Preis als unabhängige und die Zahl der verkauften Flaschen als abhängige Variable definiert und es gibt sechs Beobachtungen. Die Anzahl der verkauften Flaschen mag aber nicht nur vom Preis abhängen, z. B. könnte in der Verkaufsstelle 3 eine große Werbetafel gehangen haben, so dass dort mehr Flaschen als erwartet verkauft wurden (zufälliger Einfluss). Damit scheint das einfache lineare Regressionsmodell zu passen.

Nach der graphischen Inspektion, ob ein linearer Zusammenhang vorliegt, wird zunächst die Regressiongerade mit der Methode der kleinsten Quadrate geschätzt und es ergeben sich die Formeln in der Infobox für die geschätzten Regressionsparameter.

Für das folgende Zahlenbeispiel ergeben sich für die abhängige und unabhängige Variable jeweils ein Mittelwert zu und . Somit erhält man die Schätzwerte für und für durch einfaches Einsetzen in die weiter unten erklärten Formeln. Zwischenwerte (z. B. ) in diesen Formeln sind in folgender Tabelle dargestellt

Flaschenpreis verkaufte Menge
1 20 0 5 −5 −25 25 25 0,09 −0,09 0,0081
2 16 3 1 −2 −2 1 4 4,02 −1,02 1,0404
3 15 7 0 2 0 0 4 5,00 2,00 4,0000
4 16 4 1 −1 −1 1 1 4,02 −0,02 0,0004
5 13 6 −2 1 −2 4 1 6,96 −0,96 0,9216
6 10 10 −5 5 −25 25 25 9,91 0,09 0,0081
Summe 90 30 0 0 −55 56 60 30,00 0,00 5,9786

Es ergibt sich in dem Beispiel

und .

Die geschätzte Regressionsgerade lautet somit

,

sodass man vermuten kann, dass bei jedem Euro mehr der Absatz im Mittel um ungefähr eine Flasche sinkt.

Für einen konkreten Preis kann die Absatzmenge ausgerechnet werden, z. B. ergibt sich eine geschätzte Absatzmenge von . Für jeden Beobachtungswert kann eine geschätzte Absatzmenge angegeben werden, z. B. für ergibt sich . Die geschätzte Störgröße, genannt Residuum, ist dann .

Bestimmtheitsmaß[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Streudiagramm der Residuen ohne Struktur, das liefert
Streudiagramm der Residuen, das ein nahe bei liefert

Das Bestimmtheitsmaß misst, wie gut die Messwerte zu einem Regressionsmodell passen (Anpassungsgüte). Es ist definiert als der Anteil der „erklärten Variation“ an der „Gesamtvariation“ und liegt daher zwischen:

  • (oder ): kein linearer Zusammenhang und
  • (oder ): perfekter linearer Zusammenhang.

Je näher das Bestimmtheitsmaß am Wert Eins liegt, desto höher ist die „Bestimmtheit“ bzw. „Güte“ der Anpassung. Ist , dann besteht das „beste“ lineare Regressionsmodell nur aus dem Achsenabschnitt , während ist. Je näher der Wert des Bestimmtheitsmaß an liegt, desto besser erklärt die Regressionsgerade das wahre Modell. Ist , dann lässt sich die abhängige Variable vollständig durch das lineare Regressionsmodell erklären. Anschaulich liegen dann die Messpunkte alle auf der nichthorizontalen Regressionsgeraden. Somit liegt bei diesem Fall kein stochastischer Zusammenhang vor, sondern ein deterministischer.

Eine häufige Fehlinterpretation eines niedrigen Bestimmtheitsmaßes ist es, dass es keinen Zusammenhang zwischen den Variablen gibt. Tatsächlich wird nur der lineare Zusammenhang gemessen, d. h. obwohl klein ist, kann es trotzdem einen starken nichtlinearen Zusammenhang geben. Umgekehrt muss ein hoher Wert des Bestimmtheitsmaßes nicht bedeuten, dass ein nichtlineares Regressionsmodell nicht noch besser als ein lineares Modell ist.

Bei einer einfachen linearen Regression entspricht das Bestimmtheitsmaß dem Quadrat des Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizienten (siehe Bestimmtheitsmaß als quadrierter Korrelationskoeffizient).

Im oben genannten Beispiel kann die Güte des Regressionsmodells mit Hilfe des Bestimmtheitsmaßes überprüft werden. Für das Beispiel ergibt sich für die Residuenquadratsumme und die totale Quadratsumme

und

und das Bestimmtheitsmaß zu

.

Das heißt, ca. 90 % der Variation bzw. Streuung in können mithilfe des Regressionsmodells „erklärt“ werden, nur 10 % der Streuung bleiben „unerklärt“.

Das Modell[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Datensatz mit wahrer Regressionsgerade (blau) und geschätzter Regressionsgerade (rot) sowie wahrer Störgröße und geschätzter Störgröße (Residuum).

Im Regressionsmodell werden die Zufallskomponenten mit Hilfe von Zufallsvariablen modelliert. Wenn eine Zufallsvariable ist, dann ist es auch . Die beobachteten Werte werden als Realisierungen der Zufallsvariablen aufgefasst.

Daraus ergibt sich das einfache lineare Regressionsmodell:[1]

(mit Zufallsvariablen) bzw.
(mit deren Realisierungen).

Bildlich gesprochen wird eine Gerade durch das Streudiagramm der Messung gelegt. In der gängigen Literatur wird die Gerade oft durch den Achsenabschnitt und den Steigungsparameter beschrieben. Die abhängige Variable wird in diesem Kontext oft auch endogene Variable genannt. Dabei ist eine additive stochastische Störgröße, die Abweichungen vom idealen Zusammenhang – also der Geraden – achsenparallel misst.

Anhand der Messwerte werden die Regressionsparameter und die geschätzt. So erhält man die Stichproben-Regressionsfunktion . Im Gegensatz zur unabhängigen und abhängigen Variablen sind die Zufallskomponenten und deren Realisierungen nicht direkt beobachtbar. Ihre geschätzten Realisierungen sind nur indirekt beobachtbar und heißen Residuen. Sie sind berechnete Größen und messen den vertikalen Abstand zwischen Beobachtungspunkt und der geschätzten Regressionsgerade

Modellannahmen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Um die Zerlegung von in eine systematische und zufällige Komponente zu sichern sowie gute Schätzeigenschaften für die Schätzung und der Regressionsparameter und zu haben, sind einige Annahmen bezüglich der Störgrößen sowie der unabhängigen Variable nötig.

Annahmen über die unabhängige Variable[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In Bezug auf die unabhängige Variable werden folgende Annahmen getroffen:[2]

Die Werte der unabhängigen Variablen sind deterministisch, d. h. sie sind fest gegeben
Sie können also wie in einem Experiment kontrolliert werden und sind damit keine Zufallsvariablen (Exogenität der Regressoren). Wären die Zufallsvariablen, z. B. wenn die auch nur fehlerbehaftet gemessen werden können, dann wäre und die Verteilung von sowie die Verteilungsparameter (Erwartungswert und Varianz) würden nicht nur von abhängen
.
Mit speziellen Regressionsverfahren kann dieser Fall aber auch behandelt werden, siehe z. B. Regression mit stochastischen Regressoren.
Stichprobenvariation in der unabhängigen Variablen
Die Realisierungen der unabhängigen Variablen sind nicht alle gleich.[3] Man schließt also den unwahrscheinlichen Fall aus, dass die unabhängige Variable keinerlei Variabilität aufweist, d. h. . Dies impliziert, dass die Quadratsumme der unabhängigen Variablen positiv sein muss.[4] Diese Annahme wird im Schätzprozess benötigt.

Annahmen über die unabhängige und abhängige Variable[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der wahre Zusammenhang zwischen den Variablen und ist linear
Die Regressionsgleichung der einfachen linearen Regression muss linear in den Parametern und sein, kann aber nichtlineare Transformationen der unabhängigen und der abhängigen Variablen beinhalten. Beispielsweise sind die Transformationen
und

zulässig, da sie ebenfalls lineare Modelle darstellen. Bei transformierten Daten ist zu beachten, dass sie die Interpretation der Regressionsparameter ändert.

Vorliegen einer Zufallsstichprobe

Es liegt eine Zufallsstichprobe des Umfangs mit Realisierungen vor, die dem wahren Modell folgt.[3]

Annahmen über die Störgrößen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In Bezug auf die Störgrößen werden folgende Annahmen getroffen:[2]

Der Erwartungswert der Störgrößen ist Null:
Wenn das Modell einen – von Null verschiedenen – Achsenabschnitt enthält, ist es vernünftig, dass man zumindest fordert, dass der Mittelwert von in der Grundgesamtheit Null ist und sich die Schwankungen der einzelnen Störgrößen über die Gesamtheit der Beobachtungen ausgleichen. Mathematisch bedeutet das, dass der Erwartungswert der Störgrößen Null ist . Diese Annahme macht keine Aussage über den Zusammenhang zwischen und , sondern gibt lediglich eine Aussage über die Verteilung der unsystematischen Komponente in der Grundgesamtheit.[5] Dies bedeutet, dass das betrachte Modell im Mittel dem wahren Zusammenhang entspricht. Wäre der Erwartungswert nicht Null, dann würde man im Mittel einen falschen Zusammenhang schätzen. Zur Verletzung dieser Annahme kann es kommen, wenn eine relevante Variable im Regressionsmodell nicht berücksichtigt wurde (siehe Verzerrung durch ausgelassene Variablen).
Die Störgrößen sind voneinander unabhängige Zufallsvariablen
Wären die Störgrößen nicht unabhängig, dann könnte man einen systematischen Zusammenhang zwischen ihnen formulieren. Das würde der Zerlegung von in eine eindeutige systematische und zufällige Komponente widersprechen. Es wird in der Zeitreihenanalyse z. B. oft ein Zusammenhang der Form betrachtet.
Oft wird auch nur die Unkorreliertheit der Störgrößen gefordert: oder äquivalent .

Unabhängige Zufallsvariablen sind immer auch unkorreliert. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von Abwesenheit von Autokorrelation.

Eine konstante Varianz (Homoskedastizität) der Störgrößen:
Wäre die Varianz nicht konstant, ließe sich evtl. die Varianz systematisch modellieren, d. h. dies widerspräche Zerlegung von in eine eindeutige systematische und zufällige Komponente. Zudem lässt sich zeigen, dass sich die Schätzeigenschaften der Regressionsparameter verbessern lassen, wenn die Varianz nicht konstant ist.

Alle oben genannten Annahmen über die Störgrößen lassen sich so zusammenfassen:

,

d. h. alle Störgrößen sind unabhängig und identisch verteilt mit Erwartungswert und .

Optionale Annahme: Die Störgrößen sind normalverteilt, also
Diese Annahme wird nur benötigt um z. B. Konfidenzintervalle zu berechnen bzw. um Tests für die Regressionsparameter durchzuführen.

Wird die Normalverteilung der Störgrößen angenommen, so folgt, dass auch normalverteilt ist:

Die Verteilung der hängt also von der Verteilung der Störgrößen ab. Der Erwartungswert der abhängigen Variablen lautet:

Da die einzige zufällige Komponente in die Störgröße ist, gilt für die Varianz der abhängigen Variablen, dass sie gleich der Varianz der Störgrößen entspricht:

.

Die Varianz der Störgrößen spiegelt somit die Variabilität der abhängigen Variablen um ihren Mittelwert wider. Damit ergibt sich für die Verteilung der abhängigen Variablen:

.

Aufgrund der Annahme, dass die Störgrößen im Mittel Null sein müssen, muss der Erwartungswert von der Regressionsfunktion der Grundgesamtheit

entsprechen. D. h. mit der Annahme über die Störgrößen schlussfolgert man, dass das Modell im Mittel korrekt sein muss. Wenn zusätzlich zu den anderen Annahmen auch die Annahme der Normalverteiltheit gefordert wird spricht man auch vom klassischen linearen Modell (siehe auch #Klassisches lineares Modell der Normalregression).

Im Rahmen der Regressionsdiagnostik sollen die Voraussetzungen des Regressionsmodells, soweit möglich, geprüft werden. Dazu zählen die Überprüfung, ob die Störgrößen keine Struktur (die dann nicht zufällig wäre) haben.

Schätzung der Regressionsparameter und der Störgrößen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Datensatz und Regressionsgerade inklusive Residuum.

Die Schätzung der Regressionsparameter und und der Störgrößen geschieht in zwei Schritten:

  1. Zunächst werden mit Hilfe der Kleinste-Quadrate-Schätzung die unbekannten Regressionsparameter und geschätzt. Dabei wird die Summe der quadrierten Abweichungen zwischen dem geschätzten Regressionswert und dem beobachteten Wert minimiert.[6] Dabei ergeben sich folgende Formeln:
  2. Sind und berechnet, so kann das Residuum geschätzt werden als .

Herleitung der Formeln für die Regressionsparameter[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Methode der kleinsten Quadrate: Die Summe der blauen Abweichungsquadrate ist die totale Quadratsumme und die Summe der roten Abweichungsquadrate ist die Residuenquadratsumme. Die Kleinste-Quadrate-Schätzwerte und minimieren die Summe der Quadrate der senkrechten Abstände der Datenpunkte von der Regressionsgeraden.

Um nun die Parameter der Gerade zu bestimmen, wird die Zielfunktion (Fehlerquadratsumme bzw. die Residuenquadratsumme) minimiert[7][8]

[9]

Die Bedingungen erster Ordnung (notwendige Bedingungen) lauten:

und

.

Durch Nullsetzen der partiellen Ableitungen nach und ergeben sich die gesuchten Parameterschätzer, bei denen die Residuenquadratsumme minimal wird:

und ,

wobei die Summe der Abweichungsprodukte zwischen und und die Summe der Abweichungsquadrate von darstellt. Mithilfe des Verschiebungssatzes von Steiner lässt sich auch wie folgt einfacher, in nichtzentrierter Form, darstellen

.

Weitere Darstellungen von erhält man, indem man die Formel in Abhängigkeit vom Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizienten schreibt. Entweder als

oder ,

wobei und die empirischen Standardabweichungen von und darstellen. Die letztere Darstellung impliziert, dass der Kleinste-Quadrate-Schätzer für den Anstieg proportional zum Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizienten ist, d. h. .

Die jeweiligen Kleinste-Quadrate-Schätzwerte von und werden als und abgekürzt.

Algebraische Eigenschaften der Kleinste-Quadrate-Schätzer[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus den Formeln sind drei Eigenschaften ableitbar:

1.) Die Regressiongerade verläuft durch den Schwerpunkt bzw. durch das „Gravitationszentrum“ der Daten , was direkt aus der obigen Definition von folgt. Man sollte beachten, dass dies nur gilt, wenn ein Achsenabschnitt für die Regression verwendet wird, wie man leicht an dem Beispiel mit den zwei Datenpunkten sieht.

2.) Die KQ-Regressionsgerade wird so bestimmt, dass die Residuenquadratsumme zu einem Minimum wird. Äquivalent dazu bedeutet das, dass sich positive und negative Abweichungen von der Regressionsgeraden ausgleichen. Wenn das Modell der linearen Einfachregression einen – von Null verschiedenen – Achsenabschnitt enthält, dann muss also gelten, dass die Summe der Residuen Null ist (dies ist äquivalent zu der Eigenschaft, dass die gemittelten Residuen Null ergeben)[10]

bzw. .
Oder, da sich die Residuen als Funktion der Störgrößen darstellen lassen, . Diese Darstellung wird für die Herleitung der erwartungstreuen Schätzung der Varianz der Störgrößen benötigt.

3.) Die Residuen und die unabhängigen Variablen sind (unabhängig davon, ob ein Achsenabschnitt mit einbezogen wurde oder nicht) unkorreliert, d. h.

, was direkt aus der zweiten Optimalitätsbedingung von oben folgt.
Die Residuen und die geschätzten Werten sind unkorreliert, d. h.
.
Diese Unkorreliertheit der prognostizierten Werte mit den Residuen kann so interpretiert werden, dass in der Vorhersage bereits alle relevante Information der erklärenden Variablen bezüglich der abhängigen Variablen steckt.[11]

Schätzfunktionen der Kleinste-Quadrate-Schätzer[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus der Regressionsgleichung lassen sich die Schätzfunktionen für und für ableiten.

mit der Gewichtsfunktion
.

Die Formeln zeigen auch, dass die Schätzfunktionen der Regressionsparameter linear von abhängen. Unter der Annahme der Normalverteilung der Residuen (oder wenn für der zentrale Grenzwertsatz erfüllt ist) folgt, dass auch die Schätzfunktionen der Regressionsparameter und zumindest approximativ normalverteilt sind:

und .

Statistische Eigenschaften der Kleinste-Quadrate-Schätzer[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Erwartungstreue der Kleinste-Quadrate-Schätzer[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Schätzfunktionen der Regressionsparameter und sind erwartungstreu für und , d. h., es gilt und . Der Kleinste-Quadrate-Schätzer liefert also „im Mittel“ die wahren Werte der Koeffizienten.

Mit der Linearität des Erwartungswerts und der Voraussetzung folgt nämlich und . Als Erwartungswert von ergibt sich daher:[12]

Für den Erwartungswert von erhält man schließlich:[6]

.

Varianzen der Kleinste-Quadrate-Schätzer[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Varianzen des Achsenabschnittes und des Steigungsparameters sind gegeben durch:[13]

und
.

Dabei stellt die empirische Varianz dar. Je größer die Streuung in der erklärenden Variablen (d. h. je größer ), desto größer ist die Präzision von und . Da die Anzahl der Terme in dem Ausdruck umso größer ist, je größer die Stichprobengröße ist, führen größere Stichproben immer zu einer größeren Präzision. Außerdem kann man sehen: Je kleiner die Varianz der Störgrößen ist, desto präziser sind die Schätzer.[14]

Die Kovarianz von und ist gegeben durch

.

Falls für die Konsistenzbedingung

gilt, sind die Kleinste-Quadrate-Schätzer und konsistent für und . Dies bedeutet, dass mit zunehmender Stichprobengröße der wahre Wert immer genauer geschätzt wird und die Varianz letztendlich verschwindet. Die Konsistenzbedingung besagt, dass die Werte hinreichend stark um ihr arithmetisches Mittel variieren. Nur auf diese Art und Weise kommt zusätzliche Information zur Schätzung von und hinzu.[15] Das Problem an den beiden Varianzformeln ist jedoch, dass die wahre Varianz der Störgrößen unbekannt ist und somit geschätzt werden muss. Die positiven Quadratwurzeln der geschätzten Varianzen werden als (geschätzte) Standardfehler der Regressionskoeffizienten und bezeichnet und sind wichtig für die Beurteilung der Anpassungsgüte (siehe auch Standardfehler der Regressionsparameter im einfachen Regressionsmodell).

Schätzer für die Varianz der Störgrößen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine erwartungstreue Schätzung der Varianz der Störgrößen ist gegeben durch[16]

,

d. h., es gilt (für einen Beweis siehe Erwartungstreuer Schätzer für die Varianz der Störgrößen). Die positive Quadratwurzel dieser erwartungstreuen Schätzfunktion wird auch als Standardfehler der Regression bezeichnet.[17] Der Schätzwert von wird auch mittleres Residuenquadrat genannt. Das mittlere Residuenquadrat wird benötigt, um Konfidenzintervalle für und zu bestimmen.[18]

Das Ersetzen von durch in den obigen Formeln für die Varianzen der Regressionsparameter liefert die Schätzungen und für die Varianzen.

Bester lineare erwartungstreue Schätzer[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es lässt sich zeigen, dass der Kleinste-Quadrate-Schätzer die beste lineare erwartungstreue Schätzfunktion darstellt. Eine erwartungstreue Schätzfunktion ist „besser“ als eine andere, wenn sie eine kleinere Varianz aufweist, da die Varianz ein Maß für die Unsicherheit ist. Somit ist die beste Schätzfunktion dadurch gekennzeichnet, dass sie eine minimale Varianz und somit die geringste Unsicherheit aufweist. Diejenige Schätzfunktion, die unter den linearen erwartungstreuen Schätzfunktionen die kleinste Varianz aufweist, wird auch als bester linearer erwartungstreuer Schätzer, kurz BLES (englisch Best Linear Unbiased Estimator, kurz: BLUE) bezeichnet. Für alle anderen linearen erwartungstreuen Schätzer und gilt somit

und .

Auch ohne Normalverteilungsannahme ist der Kleinste-Quadrate-Schätzer ein bester linearer erwartungstreuer Schätzer.

Klassisches lineares Modell der Normalregression[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wenn man zusätzlich zu den klassischen Annahmen annimmt, dass die Störgrößen normalverteilt sind (), dann ist es möglich statistische Inferenz (Schätzen und Testen) durchzuführen. Ein Modell das zusätzlich die Normalverteilungsannahme erfüllt, wird Klassisches lineares Modell der Normalregression genannt. Bei solch einem Modell können dann Konfidenzintervalle und Tests für die Regressionsparameter konstruiert werden. Insbesondere wird bei t-Tests diese Normalverteilungsannahme benötigt, da eine t-Verteilung als Prüfgrößenverteilung herangezogen wird, die man erhält wenn man eine standardnormalverteilte Zufallsvariable durch die Quadratwurzel einer (um die Anzahl ihrer Freiheitsgrade korrigierten) Chi-Quadrat-verteilten Zufallsvariablen dividiert.

t-Tests[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Normalverteilungsannahme impliziert und und damit ergibt sich für Achsenabschnitt und Steigung die folgende t-Statistik:

.

Zum Beispiel kann ein Signifikanztest durchgeführt werden, bei dem Nullhypothese und Alternativhypothese wie folgt spezifiziert sind:   gegen  . Für die Prüfgröße gilt dann:

,

wobei das der t-Verteilung mit Freiheitsgraden ist.

Konfidenzintervalle[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Um Konfidenzintervalle für den Fall der linearen Einfachregression herzuleiten benötigt man die Normalverteilungsannahme für die Störgrößen. Als -Konfidenzintervalle für die unbekannten Parameter und erhält man:

und ,

wobei das -Quantil der studentschen t-Verteilung mit Freiheitsgraden ist und die geschätzten Standardfehler und der unbekannten Parameter und gegeben sind durch die Quadratwurzeln der geschätzten Varianzen der Kleinste-Quadrate-Schätzer:

und ,

wobei das mittlere Residuenquadrat darstellt.

Vorhersage[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Oft ist man daran interessiert für einen neuen Wert die (Realisierung) der abhängigen Variablen zu schätzen. Beispielsweise könnte der geplante Preis eines Produktes sein und der Absatz sein. In diesem Fall nimmt man das gleiche einfache Regressionsmodell wie oben dargestellt an. Für eine neue Beobachtung mit dem Wert der unabhängigen Variablen ist die Vorhersage basierend auf der einfachen linearen Regression gegeben durch

Da man den Wert der abhängigen Variablen nie genau vorhersehen kann, ergibt sich immer ein Schätzfehler. Dieser Fehler wird als Vorhersagefehler bezeichnet und ergibt sich aus

Im Fall der einfachen linearen Regression ergibt sich für den Erwartungswert und die Varianz des Vorhersagefehlers:

und .

Bei Punktvorhersagen dient die Angabe eines Vorhersageintervalls dazu, die Vorhersagepräzision und -sicherheit auszudrücken. Mit Wahrscheinlichkeit wird die Variable an der Stelle einen Wert annehmen, der in folgendem -Vorhersageintervall liegt[19][20]

.

Aus dieser Form des Konfidenzintervalls erkennt man sofort, dass das Konfidenzintervall breiter wird, wenn sich die unabhängige Vorhersagevariable vom „Gravitationszentrum“ der Daten entfernt. Schätzungen der abhängigen Variablen sollten also im Beobachtungsraum der Daten liegen, sonst werden sie sehr unzuverlässig.

Kausalität und Regressionsrichtung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Regressionsgeraden für [rot] und [blau]; hier werden die Parameter und durch und dargestellt

Wie in der statistischen Literatur immer wieder betont wird, ist ein hoher Wert des Korrelationskoeffizienten zweier Variablen und allein noch kein hinreichender Beleg für den kausalen (d. h. ursächlichen) Zusammenhang von und , ebenso wenig für dessen mögliche Richtung. Es ist hier nämlich ein Fehlschluss der Art cum hoc ergo propter hoc möglich.

Anders als gemeinhin beschrieben, sollte man es daher bei der linearen Regression zweier Variablen und stets mit nicht nur einer, sondern zwei voneinander unabhängigen Regressionsgeraden zu tun haben: der ersten für die vermutete lineare Abhängigkeit (Regression von auf ), der zweiten für die nicht minder mögliche Abhängigkeit (Regression von auf ).[21]

Bezeichnet man die Richtung der -Achse als Horizontale und die der -Achse als Vertikale, läuft die Berechnung des Regressionsparameter also im ersten Fall auf das üblicherweise bestimmte Minimum der vertikalen quadratischen Abweichungen hinaus, im zweiten Fall dagegen auf das Minimum der horizontalen quadratischen Abweichungen.

Rein äußerlich betrachtet bilden die beiden Regressionsgeraden und eine Schere, deren Schnitt- und Angelpunkt der Schwerpunkt der Daten ist. Je weiter sich diese Schere öffnet, desto geringer ist die Korrelation beider Variablen, bis hin zur Orthogonalität beider Regressionsgeraden, zahlenmäßig ausgedrückt durch den Korrelationskoeffizienten bzw. Schnittwinkel .

Umgekehrt nimmt die Korrelation beider Variablen umso mehr zu, je mehr sich die Schere schließt – bei Kollinearität der Richtungsvektoren beider Regressionsgeraden schließlich, also dann, wenn beide bildlich übereinander liegen, nimmt je nach Vorzeichen der Kovarianz den Maximalwert oder an, was bedeutet, dass zwischen und ein streng linearer Zusammenhang besteht und sich (wohlgemerkt nur in diesem einen einzigen Fall) die Berechnung einer zweiten Regressionsgeraden erübrigt.

Wie der nachfolgenden Tabelle zu entnehmen, haben die Gleichungen der beiden Regressionsgeraden große formale Ähnlichkeit, etwa, was ihre Anstiege bzw. angeht, die gleich den jeweiligen Regressionsparameter sind und sich nur durch ihre Nenner unterscheiden: im ersten Fall die Varianz von , im zweiten die von :

Regression von auf Zusammenhangsmaße Regression von auf
Regressionskoeffizient Produkt-Moment-Korrelation Regressionskoeffizient
Empirischer Regressionskoeffizient Empirischer Korrelationskoeffizient Empirischer Regressionskoeffizient
Regressionsgerade Bestimmtheitsmaß Regressionsgerade

Zu erkennen ist außerdem die mathematische Mittelstellung des Korrelationskoeffizienten und seines Quadrats, des Bestimmtheitsmaßes, gegenüber den beiden Regressionsparameter, dadurch entstehend, dass man anstelle der Varianzen von bzw. deren geometrisches Mittel

in den Nenner setzt. Betrachtet man die Differenzen als Komponenten eines -dimensionalen Vektors und die Differenzen als Komponenten eines -dimensionalen Vektors , lässt sich der empirische Korrelationskoeffizient schließlich auch als Kosinus des von beiden Vektoren eingeschlossenen Winkels interpretieren:

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für das vorangegangene Beispiel aus der Sektkellerei ergibt sich folgende Tabelle für die Regression von auf bzw. für die Regression von auf :

Flaschenpreis verkaufte Menge
1 20 0 5 −5 −25 25 25 0,09 19,58
2 16 3 1 −2 −2 1 4 4,02 16,83
3 15 7 0 2 0 0 4 5,00 13,17
4 16 4 1 −1 −1 1 1 4,02 15,92
5 13 6 −2 1 −2 4 1 6,96 14,08
6 10 10 −5 5 −25 25 25 9,91 10,42
Summe 90 30 0 0 −55 56 60 30,00 90,00

Daraus ergeben sich folgende Werte für die Regression von auf :

Regression von auf
Koeffizient Allgemeine Formel Wert im Beispiel
Steigungsparameter der Regressionsgerade
Achsenabschnitt der Regressionsgerade
Geschätzte Regressionsgerade

Und die Werte für die Regression von auf lauten:

Regression von auf
Koeffizient Allgemeine Formel Wert im Beispiel
Steigungsparameter der Regressionsgerade
Achsenabschnitt der Regressionsgerade
Geschätzte Regressionsgerade

Das heißt, je nachdem ob man die Regression von auf oder die Regression von auf ausführt, erhält man unterschiedliche Regressionsparameter. Für die Berechnung des Korrelationskoeffizienten und des Bestimmtheitsmaßes spielt jedoch die Regressionsrichtung keine Rolle.

Empirische Korrelation
Bestimmtheitsmaß

Lineare Einfachregression durch den Ursprung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Fall der einfachen linearen Regression durch den Ursprung/Regression ohne Achsenabschnitt (der Achsenabschnitt wird nicht in die Regression miteinbezogen und daher verläuft die Regressionsgleichung durch den Koordinatenursprung) lautet die konkrete empirische Regressionsgerade , wobei die Notation benutzt wird um von der allgemeinen Problemstellung der Schätzung eines Steigungsparameters mit Hinzunahme eines Achsenabschnitts zu unterscheiden. Manchmal ist es angebracht, die Regressionsgerade durch den Ursprung zu legen, wenn und als proportional angenommen werden. Auch in diesem Spezialfall lässt sich die Kleinste-Quadrate-Schätzung anwenden. Sie liefert für die Steigung

.

Dieser Schätzer für den Steigungsparameter entspricht dem Schätzer für den Steigungsparameter , dann und nur dann wenn . Wenn für den wahren Achsenabschnitt gilt, ist ein verzerrter Schätzer für den wahren Steigungsparameter . Für die lineare Einfachregression durch den Ursprung muss ein anderes Bestimmtheitsmaß definiert werden, da das gewöhnliche Bestimmtheitsmaß bei einer Regression durch den Ursprung negativ werden kann (siehe Bestimmtheitsmaß#Einfache lineare Regression durch den Ursprung).[22] Die Varianz von ist gegeben durch

.

Diese Varianz wird minimal wenn die Summe im Nenner maximal wird.

Matrixschreibweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Modellcharakter des einfachen linearen Regressionsmodells wird besonders in der Matrixschreibweise mit der Datenmatrix deutlich:

(wahres Modell).

mit

Diese Darstellung erleichtert die Verallgemeinerung auf mehrere Einflussgrößen (multiple lineare Regression).[23]

Verhältnis zur multiplen linearen Regression[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die lineare Einfachregression ist ein Spezialfall der multiplen linearen Regression. Das multiple lineare Regressionsmodell

,

stellt eine Verallgemeinerung der linearen Einfachregression bzgl. der Anzahl der Regressoren dar. Hierbei ist die Anzahl der Regressionsparameter. Für , ergibt sich die lineare Einfachregression.

Lineare Einfachregression in R[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Als einfaches Beispiel wird der Korrelationskoeffizient zweier Datenreihen berechnet:

# Groesse wird als numerischer Vektor
# durch den Zuweisungsoperator "<-" definiert:
Groesse <- c(176, 166, 172, 184, 179, 170, 176)

# Gewicht wird als numerischer Vektor definiert:
Gewicht <- c(65, 55, 67, 82, 75, 65, 75)

# Berechnung des Korrelationskoeffizienten nach Pearson mit der Funktion "cor":
cor(Gewicht, Groesse, method = "pearson")

Das Ergebnis lautet 0.9295038.

Grafikausgabe des Beispiels

Mithilfe der Statistiksoftware R kann eine lineare Einfachregression durchgeführt werden. Dies kann in R durch die Funktion lm ausgeführt werden, wobei die abhängige Variable von den unabhängigen Variablen durch die Tilde getrennt wird. Die Funktion summary gibt die Koeffizienten der Regression und weitere Statistiken hierzu aus:

# Lineare Regression mit Gewicht als Zielvariable
# Ergebnis wird als reg gespeichert:
reg <- lm(Gewicht~Groesse)

# Ausgabe der Ergebnisse der obigen linearen Regression:
summary(reg)

Diagramme lassen sich einfach erzeugen:

# Streudiagramm der Daten:
plot(Gewicht~Groesse)

# Regressionsgerade hinzufügen:
abline(reg)

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Commons: Lineare Regression – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • George G. Judge, R. Carter Hill, W. Griffiths, Helmut Lütkepohl, T.C. Lee. Introduction to the Theory and Practice of Econometrics. John Wiley & Sons, New York, Chichester, Brisbane, Toronto, Singapore, ISBN 978-0471624141, second edition 1988.
  • Norman R. Draper, Harry Smith: Applied Regression Analysis. Wiley, New York 1998.
  • Ludwig von Auer: Ökonometrie. Eine Einführung. Springer, ISBN 978-3-642-40209-8, 6. durchges. u. aktualisierte Aufl. 2013
  • Ludwig Fahrmeir, Thomas Kneib, Stefan Lang, Brian Marx: Regression: models, methods and applications. Springer Science & Business Media, 2013, ISBN 978-3-642-34332-2
  • Peter Schönfeld: Methoden der Ökonometrie. Berlin/ Frankfurt 1969.
  • Dieter Urban, Jochen Mayerl: Regressionsanalyse: Theorie, Technik und Anwendung. 2., überarb. Auflage. VS Verlag, Wiesbaden 2006, ISBN 3-531-33739-4.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. W. Zucchini, A. Schlegel, O. Nenadíc, S. Sperlich: Statistik für Bachelor- und Masterstudenten.
  2. a b Ludwig von Auer: Ökonometrie. Eine Einführung. Springer, ISBN 978-3-642-40209-8, 6., durchges. u. aktualisierte Auflage. 2013, S. 49.
  3. a b Jeffrey Marc Wooldridge: Introductory econometrics: A modern approach. 5. Auflage. Nelson Education 2015, S. 59.
  4. Karl Mosler und Friedrich Schmid: Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik. Springer-Verlag, 2011, S. 292.
  5. Jeffrey Marc Wooldridge: Introductory econometrics: A modern approach. 5. Auflage. Nelson Education 2015, S. 24.
  6. a b Jeffrey Wooldridge: Introductory Econometrics: A Modern Approach. 5. internationale Auflage. South-Western, Mason, OH 2013, ISBN 978-1-111-53439-4, S. 113–114 (englisch).
  7. J. F. Kenney, E. S. Keeping: Linear Regression and Correlation. In: Mathematics of Statistics. Pt. 1, 3. Auflage. Van Nostrand, Princeton, NJ 1962, S. 252–285.
  8. Rainer Schlittgen: Regressionsanalysen mit R. 2013, ISBN 978-3-486-73967-1, S. 4 (abgerufen über De Gruyter Online).
  9. bezeichnet analog zu (Argument des Maximums) das Argument des Minimums
  10. Manfred Precht und Roland Kraft: Bio-Statistik 2: Hypothesentests–Varianzanalyse–Nichtparametrische Statistik–Analyse von Kontingenztafeln–Korrelationsanalyse–Regressionsanalyse–Zeitreihenanalyse–Programmbeispiele in MINITAB, STATA, N, StatXact und TESTIMATE: 5., völlig überarb. Aufl. Reprint 2015, De Gruyter, Berlin Juni 2015, ISBN 978-3-486-78352-0 (abgerufen über De Gruyter Online), S. 299.
  11. Rainer Schlittgen: Regressionsanalysen mit R. 2013, ISBN 978-3-486-73967-1, S. 27 (abgerufen über De Gruyter Online).
  12. Werner Timischl: Angewandte Statistik. Eine Einführung für Biologen und Mediziner. 2013, 3. Auflage, S. 326.
  13. Werner Timischl: Angewandte Statistik. Eine Einführung für Biologen und Mediziner. 2013, 3. Auflage, S. 326.
  14. George G. Judge, R. Carter Hill, W. Griffiths, Helmut Lütkepohl, T. C. Lee. Introduction to the Theory and Practice of Econometrics. 2. Auflage. John Wiley & Sons, New York/ Chichester/ Brisbane/ Toronto/ Singapore 1988, ISBN 0-471-62414-4, S. 168.
  15. Ludwig Fahrmeir, Rita Künstler, Iris Pigeot, Gerhard Tutz: Statistik. Der Weg zur Datenanalyse. 8., überarb. und erg. Auflage. Springer Spektrum, Berlin/ Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50371-3, S. 443.
  16. Jeffrey Marc Wooldridge: Introductory econometrics: A modern approach. 5. Auflage. Nelson Education 2015
  17. Karl Mosler und Friedrich Schmid: Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik. Springer-Verlag, 2011, S. 308.
  18. Werner Timischl: Angewandte Statistik. Eine Einführung für Biologen und Mediziner. 2013, 3. Auflage, S. 313.
  19. Rainer Schlittgen: Regressionsanalysen mit R. 2013, ISBN 978-3-486-73967-1, S. 13 (abgerufen über De Gruyter Online).
  20. Ludwig von Auer: Ökonometrie. Eine Einführung. Springer, ISBN 978-3-642-40209-8, 6., durchges. u. aktualisierte Auflage. 2013, S. 135.
  21. Walter Gellert, Herbert Küstner, Manfred Hellwich, Herbert Kästner (Hrsg.): Kleine Enzyklopädie Mathematik. Leipzig 1970, S. 669–670.
  22. Jeffrey Marc Wooldridge: Introductory econometrics: A modern approach. 4. Auflage. Nelson Education, 2015, S. 57.
  23. Lothar Sachs, Jürgen Hedderich: Angewandte Statistik: Methodensammlung mit R. 8., überarb. und erg. Auflage. Springer Spektrum, Berlin/ Heidelberg 2018, ISBN 978-3-662-56657-2, S. 801