Linse (Optik)

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Einfache bikonvexe Linse (Sammellinse)

Als Linsen bezeichnet man in der Optik transparente Bauelemente, die Licht durch Brechung an ihren Oberflächen ablenken. Im Allgemeinen haben sie zwei lichtbrechende Flächen, von denen mindestens eine konvex oder konkav gewölbt ist. Eine Ausnahme ist der Manginspiegel mit einer brechenden und einer verspiegelten reflektierenden Fläche. Linsen, die paralleles Licht (zumindest bis zum Brennpunkt) bündeln, heißen Sammellinsen, weiten sie es hingegen auf, heißen sie Zerstreuungslinsen.

Man unterscheidet zwischen einfachen (einzelnen) Linsen und (zur Korrektur von Abbildungsfehlern) zusammengesetzten Linsen, die dann auch Linsengruppen genannt werden. Kombinationen aus Linsen und Linsengruppen werden zu optischen Instrumenten, wie Fernrohren und Mikroskopen, oder zu Objektiven und Okularen zusammengesetzt. Fotografische Objektive werden aufgrund der englischen Bezeichnung camera lens, kurz auch lens, gelegentlich fälschlicherweise als Linse bezeichnet.

Geschichte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

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Antike[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Laut der Archäologen George Sines und Yannis A. Sakellarakis[1] wurden bereits viele von Menschenhand geschliffene Linsen der Antike entdeckt, die aus Kristall (meist Quarz) gefertigt wurden, jedoch ist mangels schriftlicher Quellen nicht überliefert, ob diese jeweils als Sehhilfe oder lediglich als Brennglas zum Feuermachen verwendet wurden. Bei dem ältesten solchen Artefakt handelt sich dabei um die sog. Nimrud-Linse, die aus dem Assyrien des 7. vorchristlichen Jahrhunderts stammt. Bei archäologischen Ausgrabungen wurden darüber hinaus ägyptische Wandmalereien aus dem 8. vorchristlichen Jahrhundert entdeckt, die möglicherweise die vergrößernde Eigenschaft von Linsen darstellen, jedoch ist diese Deutung umstritten.[2]

Die älteste eindeutige schriftliche Beschreibung von Brenngläsern, über die wir verfügen, ist das Theaterstück Die Wolken des griechischen Dichters Aristophanes, das 423 v. Chr. uraufgeführt wurde. Plinius der Ältere berichtet, dass Kaiser Nero zur Korrektur seiner Kurzsichtigkeit einen Smaragd benutzte, durch den er die Gladiatorenspiele in der Arena von seiner Loge aus betrachtete. Sowohl Plinius als auch Seneca beschrieben das Phänomen, wonach Gegenstände, die durch mit Wasser gefüllte Glaskugeln betrachtet werden, vergrößert erscheinen.

Allerdings gingen die meisten antiken Philosophen nicht davon aus, dass Licht von Objekten ins Auge fällt, sondern sie folgten noch der aus dem fünften vorchristlichen Jahrhundert stammenden Lehre des Empedokles, wonach das Auge aktiv die Gegenstände fixieren und abtasten würde, so dass noch kein adäquates Verständnis der Brechungsoptik entwickelt werden konnte. Euklid stellte zwar keine eigene Lichttheorie auf, kritisierte aber die Lehre des Empedokles mit der Frage, wie das Auge nahezu unmittelbar die weit entfernten Sterne erreichen könne, und entwickelte erste brauchbare Grundsätze der geometrischen Optik beim natürlichen Sehen, indem er von geraden Linien zwischen Auge und Objekt ausging. Dadurch wurde zwar in der antiken Malerei bereits die realistische dreidimensionale, mit Fluchtpunkten arbeitende Perspektive samt mathematisch exakter perspektivischer Verkürzung möglich, die in der griechischen Kulissenmalerei für das Theater und in der römischen Wandmalerei eingesetzt wurde, zur Analyse und Beschreibung des von Linsen gebrochenen Lichts taugte diese Theorie jedoch nicht.

Zwar entwickelte in der Folge Lukrez in seinem Werk De rerum natura, das 55 v. Chr. erschien, eine vom menschlichen Auge unabhängige Lichtteilchentheorie, konnte sich damit vor Ende der Antike aber nicht durchsetzen. Heron von Alexandria studierte im ersten nachchristlichen Jahrhundert auf der Grundlage der einfachen euklidschen Optik die Spiegelung und Claudius Ptolemäus wiederum vermaß davon ausgehend rund einhundert Jahre später den genauen Brechungsindex verschiedener durchsichtiger Materialien wie Wasser, verschiedener Kristalle und Glas, letztere beide auch in Form gekrümmter Linsen. Obwohl Ptolemäus auf diese Weise einen eindeutigen Zusammenhang zwischen Brechungswinkel und Krümmungsgrad feststellte, konnte er seine empirischen Meßergebnisse nicht theoretisch erklären, da auch er noch von der Lehre des Empedokles vom aktiv abtastenden Auge ausging. Allerdings erweiterte er als erster den vermeintlichen dünnen Abtaststrahl des Auges zum kegelförmigen Blickwinkel des gesamten Gesichtsfeldes, den er als eigenständigen Faktor von Optik und Perspektive erkannte und der später in Form des von Aufnahmeformat und Brennweite bestimmten Bildwinkels in der gebrochenen Optik von Linsen wichtig werden sollte.

Mittelalter[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Um 1050 vergruben Wikinger auf Gotland einen Schatz, unter dem sich die eingefassten, reichverzierten, aus Bergkristall gefertigten asphärischen sog. Visby-Linsen befanden, deren Alter selber bis heute nicht bestimmt wurde und die eine mit Mitte des 20. Jahrhunderts industriell hergestellten Hochpräzisionslinsen vergleichbare Verarbeitungs- und Abbildungsqualität besitzen. Es wird angenommen, dass die Visby-Linsen über Handelsverbindungen der Waräger aus Byzanz stammen könnten. Rodenstock fertigte 1989 Replikate der Visby-Linsen.

Die moderne Optik beginnt mit dem arabischen Philosophen al-Kindi, der im 9. Jahrhundert die heute gültige Theorie entwickelte, wonach nicht das Auge die Gegenstände abtastet, sondern umgekehrt das Licht ins Auge fällt. Darauf aufbauend entdeckte der persische Mathematiker Ibn Sahl im 10. Jahrhundert das Snelliussches Brechungsgesetz, das erstmals die exakte Berechnung des Brennpunktes wie der für eine bestimmte optische Funktion nötigen Linsenform ermöglichte.

Ein weiterer Schüler al-Kindis war Alhazen, der im 11. Jahrhundert in seinem siebenbändigen Schatz der Optik schließlich alle überlieferten antiken griechisch-römischen, aber auch neuere arabische Erkenntnisse zur Optik zusammenfaßte und darüber hinaus die einfache geometrische Optik des Euklid mit al-Kindis Theorie der einfallenden Lichtstrahlen kombinierte. Durch Übersetzung dieses Grundlagenwerks ins Lateinische als De aspectibus bzw. Perspectiva ab dem mittleren 13. Jahrhundert erfuhr das mittelalterliche Europa erstmals von der Theorie einfallender Lichtstrahlen und der exakten Berechnung optischer Linsen.

Nach der Übersetzung des Werks von Alhazen wurde der Inhalt von europäischen Mönchen neu aufgegriffen (unter den ersten befand sich der Franziskaner Francis Bacon, der das von den Gegenständen zurückgeworfene Licht unter der Bezeichnung species als diesen inhärente Kraft auffaßte) und der Lesestein konstruiert, eine überhalbkugelige Plankonvexlinse, mit der es möglich war, Schrift vergrößert zu betrachten. Diese Linse bestand meist aus Beryll, worauf das Wort Brille zurückgeht. Ende des 13. Jahrhunderts wurden erstmals Sammellinsen in Lesebrillen zur Korrektur von Weit- oder Alterssichtigkeit gebraucht. Zentrum dieser Linsenfertigung war zunächst Italien, später auch Frankreich und Holland.

Frühe Neuzeit bis 1850[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die ersten optischen Apparate, die mehrere Linsen hintereinander kombinierten, waren das Mikroskop und das Fernrohr, die Ende des 16. Jahrhunderts bzw. Anfang des 17. Jahrhunderts erfunden wurden. Nachdem klargeworden war, dass keine Einzellinse achromatisch, d. h. mit identischem Brennpunkt für das gesamte optische Farbspektrum konstruiert werden konnte (s. chromatische Aberration), erfand Chester Moor Hall 1733 den ersten, aus einer Linsengruppe bestehenden Achromaten.

1804 konstruierte William Hyde Wollaston eine Meniskuslinse mit positiver Brennweite für Brillen, die er 1812 für die Camera obscura adaptierte, bei dem die konkave Seite nach außen zeigte und er eine starre Blende zur Kontrolle der einfallenden Lichtmenge einbaute. Dieses Objektiv aus der Fertigung Charles Chevaliers wurde von Joseph Nicéphore Niépce und Louis Daguerre ab 1828 für ihre photographischen Experimente mit der frühen Heliografie bzw. Daguerrotypie verwendet, konnte aber, da es sich um kein achromatisches Objektiv handelte, keinen befriedigenden Focus erzeugen.

Ende 1839 konstruierte Chevalier daraufhin ein Objektiv mit fest eingesteller Blendenzahl 16, das achromatische und asphärische Eigenschaften miteinander verband und als sog. Landschaftsobjektiv weite Verbreitung unter frühen Photographen fand, da es sphärische Verzerrungen verringerte und erstmals einen ausreichenden Focus ermöglichte. Die hohe Blendenzahl, die nur wenig Licht einfallen ließ, führte dazu, dass Belichtungszeiten von zwanzig bis dreißig Minuten für eine ausreichende Belichtung nötig waren.

Der Ungar Josef Maximilian Petzval konstruierte 1840 das sog. Porträtobjektiv, das aus vier Linsenelementen bestand und aufgrund der Blendenzahl 3,6 wesentlich lichtempfindlicher war. Durch Kombination des patzvalschen Porträtobjektivs mit der 1850 erfundenen, gegenüber der älteren Daguerrotypie ebenfalls lichtempfindlicheren Kollodium-Nassplatte konnte nun bei Außenaufnahmen mit strahlendem Sonnenschein die Belichtungszeit auf ein bis zwei Minuten verringert werden. Dieses Objektiv zeichnete in der Mitte scharf und wurde zum Rand hin unschärfer, wodurch es Photographien erzeugte, auf denen die photographierte Person in einem ästhetisch ansprechenden kreisförmigen, sanft auslaufendem Rahmen dargestellt wurden. Das petzvalsche Porträtobjektiv war das erste Objektiv, das nicht mehr an einer umgebauten Camera obscura, sondern an einem speziell für die Photographie entwickelten Photoapparat von Voigtländer verwendet wurde.

1850 bis zur Jahrhundertwende[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nach 1850 wurde das Prinzip entdeckt, wonach rotationssymmetrisch angeordnete Linsengruppen drei der sieben schwerwiegendsten optischen Linsenabbildungsfehler eliminieren: Geometrische Verzerrung, Koma bei schräg einfallenden Lichtstrahlen und Farbquerfehler. Damit verblieben als zu lösende Aufgaben Farblängsfehler, Bildfeldwölbung, gewöhnlicher Axialastigmatismus und der Astigmatismus schiefer Bündel.

1858 erfand der englische Astronom John Waterhouse die verstellbare Blende, die aus einer Reihe von Messingplatten bestand, mit der erstmals die einfallende Lichtmenge eingestellt werden konnte. Bis dahin waren Objektivblenden immer fest gewesen, weshalb Photographen lediglich eine Kontrolle über die Belichtungszeit mittels Abnahme und Wiederanbringung des Objektivdeckels besessen hatten. Um 1880 wurde die Irisblende, die bisher primär von Zeichnern in der Camera obscura benutzt worden war, erstmals auch für photographische Objektive verwendet, was wiederum zu der Erkenntnis führte, dass die eingestellte Blende einen Einfluss auf die Schärfentiefe besitzt.

Das erste brauchbare Weitwinkelobjektiv, das auch im kurzen Brennweitenbereich an den Rändern keine nennenswerten sphärischen Verzeichnungen mehr aufwies, war der vierelementige sog. Harrison & Schnitzer Globe aus den USA von 1862. Der Name als Globe leitete sich daher ab, dass die imaginär verlängerten Außenseiten der ersten und letzten Linse eine perfekte Kugel ergaben.

1890 erfand Carl Zeiss mit dem Zeiss Protar das erste anastigmatische Objektiv, das folglich ursprünglich unter dem Markennamen Anastigmat vertrieben wurde, bevor dies zu einer allgemeinen Typenbezeichnung für Objektive mit dieser Eigenschaft wurde. Das Protar gilt als erstes modernes Objektiv, da das darin verarbeite Bariumoxid (Schottlinse) eine asymmetrische Bauweise ermöglichte. Dies ermöglichte einen höheren Brechungsindex bei gleichzeitig geringerer Streuung.

Das 1893 erfundene Cooke-Triplet alias Dreilinser wurde zur klassischen Grundlage der meisten im 20. Jahrhundert verwendeten Objektive, da er die neuen Eigenschaften der Schottlinsen durch darauf aufbauende Neuberechnungen vervollkommnete. Der Dreilinser war für Formatgrößen ab dem Mittelformat abwärts geeignet, aber nicht für größere Formate, was allerdings aufgrund der niedrigen Auflösung der damals gebräuchlichen Emulsionen zu der Zeit noch nicht auffiel.

Das 1902 patentierte Tessar wurde von Paul Rudolph zur Beseitigung typischer Abbildungsfehler des Protars konstruiert, übernahm aber auch Neuerungen des Dreilinsers. Das Tessar wurde mit der Blende 6,3 (ab 1930 zu 2,8 verbessert) zum verbreitetsten mittellichtempfindlichen Normalobjektiv des 20. Jahrhunderts.

Grundlegende Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bezeichnung von Linsen nach Krümmung ihrer Flächen

Dünne Linsen lassen sich durch folgende geometrische und Material-Eigenschaften beschreiben:

Aus diesen lässt sich in Verbindung mit dem Brechungsindex des Umgebungsmaterials \textstyle n die Brennweite als wichtigste optische Eigenschaft ableiten:
\frac{1}{f} = \frac{n'-n}{n} \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) .

Dicke Linsen – das sind insbesondere Linsen, die an ihrer dünnsten Stelle eine endliche Dicke haben – erfordern zusätzlich die Angabe:

  • die Dicke der Linse in der Mitte \textstyle d
Dickere Linsen weisen bei sonst gleichen Parametern eine geringere Brennweite als dünne Linsen auf, weiterhin entstehen zwei nicht mehr aufeinanderliegende Hauptebenen, da der Strahlversatz beim (nicht achsparallelen) Durchgang durch die Linse nicht mehr vernachlässigt werden kann:
\frac{1}{f} = \frac{n'-n}{n} \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) + \frac{d\,(n'-n)^2}{R_1\,R_2\,n'\,n} .

Weiterhin ergibt sich aus den Krümmungsradien die äußere Erscheinungsform der Linse, d. h. ob es sich um eine (bi)konkave oder (bi)konvexe Linse oder um eine der anderen Formen handelt.

Genauere Betrachtungen führen zum Thema der prinzipiell unvermeidbaren Abbildungsfehler und weiterer Fehler durch Fehler und Ungenauigkeiten bei der Herstellung (Materialfehler, Toleranzen beim Schliff, Montagefehler).

Herstellung und verwendete Materialien[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Linsen zur Verwendung im sichtbaren Spektralbereich werden aus optischen Gläsern oder Kunststoffen wie Polycarbonaten, Polymethylmethacrylaten oder Cyclo-Olefin-(Co)polymeren hergestellt. Weiterhin ist im Gegensatz zu diesen amorphen auch die Verwendung von kristallinen Materialien möglich, wie Calciumfluorid[3] oder Saphir.[4]

Rohlinge für Glaslinsen werden je nach Größe und Qualitätsanforderungen unterschiedlich hergestellt:

  • klein, geringe Anforderungen:
    • Herstellen der Linsen direkt durch Heißpressen
    • Es entstehen Inhomogenitäten im Brechungsindex, die auch noch anisotrop sind, durch entstehende mechanische Spannungen
    • können durch nachträgliches Tempern reduziert werden
  • höhere Anforderungen (Präzisionsoptiken):
    • Urformen: Glasblöcke werden gegossen und langsam abgekühlt. Abkühldauer bei Grobkühlung: einige Tage, Feinkühlung: etliche Wochen bis wenige Monate
    • Trennschleifen: Glasblöcke werden durch Trennschleifen zerteilt: mittels Kreisfräsen in Zylinder, diese werden dann weiter in Scheiben zerlegt.

Daran schließt sich das Schleifen an:

  • Grobschleifen mittels Fräsen (verbleibendes Aufmaß: 100 bis 200 µm)
  • Feinschleifen/Läppen mittels Diamantkörnern (verbleibendes Aufmaß: um 1 µm)
  • Polieren mittels Ceroxid (Rauhigkeit: < λ/10)
  • Zentrieren (Abschleifen des Randes zum Festlegen der optischen Achse)
  • (bei durch Molding hergestellten asphärischen Linsen schließt sich hier eine Heißumformung an)

Bei geringeren Qualitätsanforderungen können die bei hohen Temperaturen gepressten Rohlinge direkt verwendet werden. Kunststofflinsen können durch Spritzgießen oder Spritzprägen wie auch durch klassisches Schleifen und Polieren hergestellt werden.

Mit Hilfe der geometrischen Größen Durchmesser, Linsenradien, Mittendicke, ergänzt mit Herstelltoleranzen (z. B. Passfehlertoleranz einschließlich durchschnittlicher Wellenfrontfehler), und der Materialeigenschaften Brechungsindex, Abbe-Zahl und Spannungsdoppelbrechung, ergänzt durch Materialtoleranzen (z. B. Homogenität), werden die optischen Eigenschaften einer sphärischen Linse vollständig beschrieben. Die wesentlichste Kenngröße einer Linse für ihre abbildende Funktion ist die Brennweite (Einheit: Meter), d. h. die Distanz zwischen Brennpunkt oder Brennebene und Hauptebenen. Der Kehrwert der Brennweite wird als Brechwert (Einheit: Dioptrien) angegeben. Der Durchmesser der nutzbaren Fläche einer Linse wird Öffnung oder Apertur genannt.

Eine wichtige Eigenschaft aller durch Strahlenoptik beschreibbaren Systeme ist das Prinzip der Umkehrung des Lichtweges: Wenn ein von einer Seite einfallender Lichtstrahl entlang seines Weges verfolgt wird, so wird ein entgegengesetzt einfallender Lichtstrahl diesen Weg genau umgekehrt durchlaufen.

Verschiedene Linsenformen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Radien einer Sammellinse: +R1 (R1>0) ; −R2 (R2<0)
Radien einer Zerstreuungslinse: -R1 (R1<0) ; +R2 (R2>0)

Sphärische Linsen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei den einfachsten Linsen sind die beiden optisch aktiven Flächen sphärisch. Das heißt, sie sind Oberflächenausschnitte einer Kugel. Daher kann man diese Flächen mit ihrem Krümmungsradius R kennzeichnen.

Man unterscheidet:

  • Sammellinsen mit zwei konvexen Flächen oder mit einer konvexen und einer ebenen Fläche, jedenfalls in der Mitte, im Bereich der optischen Achse, dicker als am Rand; ein Bündel parallel zur optischen Achse einfallender Lichtstrahlen wird idealerweise in einem Punkt hinter der Linse, dem Brennpunkt oder Fokus F, gesammelt. Ihre Brennweite f ist positiv.
  • Zerstreuungslinsen (Streulinse) mit zwei konkaven Flächen (bikonkav) oder mit einer konkaven und einer ebenen Fläche (konkav), jedenfalls am Rand dicker als in der Mitte; ein Bündel von einfallenden Parallelstrahlen läuft hinter der Linse so auseinander, als käme es von einem Punkt auf der Einfallseite des Lichts. Die Brennweite ist negativ.

Daneben gibt es Linsen, die eine konkave und eine konvexe Fläche besitzen (Meniskuslinse). Solche Linsen dienen oft zur Korrektur von Abbildungsfehlern in optischen Systemen mit mehreren Linsen. Es sind Sammellinsen, falls die konvexe Fläche stärker gekrümmt ist, oder Zerstreuungslinsen, falls die konkave Fläche stärker gekrümmt ist.

Ein Bauelement mit zwei planen und parallelen optisch wirksamen Flächen heißt Planplatte oder planparallele Platte.

Für das Rechnen nach den Regeln der geometrischen Optik werden nach DIN 1335 die in Lichtrichtung aufeinander folgenden Radien mit R1 und R2 (mit R3 und R4) bezeichnet. Das zugehörige Vorzeichen unterscheidet nicht direkt zwischen konvexer und konkaver Fläche. Der Radius einer Fläche ist positiv definiert, wenn das Licht ihren Krümmungsmittelpunkt später als die Fläche passiert. Bei umgekehrter Reihenfolge ist der Radius negativ definiert. In graphischen Darstellungen kommt das Licht konventionell von links (oder von oben).

Für die drei Flächen konvex, plan (eben) oder konkav ergeben sich folgende Vorzeichen:

  • Konvexe Fläche (sie ist nach außen gewölbt): +R1 (R1 > 0) oder −R2 (R2 < 0).
  • Plane Fläche (ihre Krümmung ist null): R = ±.
  • Konkave Fläche (sie ist nach innen gewölbt): −R1 (R1 < 0) oder +R2 (R2 > 0).

Die durch die Krümmungsmittelpunkte verlaufende Gerade wird als optische Achse O bezeichnet. Ist eine der beiden Linsenflächen plan, so steht die optische Achse senkrecht auf ihr.

Sphärische Linsen führen prinzipbedingt zu sphärischer Aberration, weil der Brennpunkt der Randstrahlen nicht mit dem Brennpunkt der achsnahen Strahlen übereinstimmt, gegebenenfalls auch abhängig von der Wellenlänge des Lichts. Um diese Fehler zu verringern, werden Linsensysteme (Anastigmate, Cooke-Triplet, Tessar) verwendet, die die Fehler weitgehend kompensieren.

Asphärische Linsen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

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Hauptartikel: Asphärische Linse

Asphärische Linsen weisen weitere Freiheitsgrade beim Design auf und ermöglichen eine bessere Korrektur eines optischen Systems als eine sphärische Linse. Viele Asphären haben nur geringe Abweichungen gegenüber einer Kugeloberfläche. Auf der anderen Seite gibt es auch Freiformlinsen mit komplexen nicht-rotationssymmetischen Oberflächen. Nachteile asphärischer Linsen sind erhöhte Fertigungskosten und eine geringere Oberflächenqualität. Ein typischer Effekt sind Riefen (die man immer deutlich im Bokeh sieht), die entweder beim Schleifen selbst oder bei der Herstellung des Presswerkzeugs entstehen.

Eine weitere Kategorie sind Gradientenlinsen, in denen sich der Brechungsindex stetig räumlich ändert. Licht wird hier nicht nur an Grenzeflächen, sondern auch im Glas selbst gebrochen. Mit ihnen können ähnliche Effekte wie mit Asphären erreicht werden.

Ideale Linse[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für zwei eingeschränkte Zwecke gibt es Linsenformen, die für monochromatisches Licht keinen Abbildungsfehler haben.

  • Exaktes Bündeln parallel zur optischen Achse einfallenden Lichts in einem Punkt:
    Eine Möglichkeit ist, dass die dem einfallenden Licht zugewandten Fläche der Linse plan ist, und die abgewandte Seite die Form eines Hyperboloids hat. Für den halben Öffnungswinkel \alpha des zum Hyperboloid gehörenden Asymptotenkegels muss n\cdot\cos\alpha=1 gelten, mit dem Brechungsindex n des Linsenmaterials. Die einfallenden Strahlen werden gerade in einem der beiden Hyperbelbrennpunkte gebündelt – in jenem mit dem größeren Abstand zum Scheitel der Linse.
  • Gleich langer optischer Weg für alle Strahlen, die in einem Punkt auf der optischen Achse entspringen bis zum gemeinsamen Bildpunkt:
    Die plane Fläche der Linse wird durch eine Sphäre um diesen Punkt und die hyperbolische Fläche durch ein kartesisches Oval ersetzt. Die Abbildung geschieht nach dem Fermatschen Prinzip. Für den Fall, dass benachbarte Punkte des Urbildes gleichmäßig auf benachbarte Punkte des Bildes abgebildet werden sollen, sind solche Überlegungen noch wesentlich komplexer.

Astigmatische Linsen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zylinderlinse als Grenzfall einer astigmatischen Linse
A: Sammellinse, B: Zerstreuungslinse

Astigmatische Linsen haben in zwei senkrecht zueinander stehenden radialen Richtungen verschieden große Brennweiten. Grenzfall ist die Zylinderlinse, die in einer der beiden Richtungen planparallele Oberflächenkonturen hat und in ihrer typischen Form tatsächlich ein Zylinderabschnitt ist: eine zylindrische und eine plane Oberfläche. Sie bündelt parallel einfallendes Licht auf einer Brennlinie.

Astigmatische Linsen werden in folgenden Fällen eingesetzt:

Elastische Linsen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Elastische Linse bezeichnet ein Linse, die die Brechkraft durch die Verformung eines elastischen Festkörpers ändert. Es ergeben sich aus dem Funktionsprinzip folgende Vorteile:

  • Die Form der Grenzfläche ist frei wählbar (sphärisch, asphärisch).
  • Die Größe der Brechkraftänderung ist bei Verwendung von Gummimaterialien sehr groß (ca. 15 dpt).
  • Die Verformung kann sehr schnell erfolgen.

Dieses Wirkungsprinzip nutzt das Auge, wird aber auch gelegentlich in der Technik verwendet, z. B. hier.

Brennweite und Hauptebenen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Brechung an einer sphärischen Grenzfläche: Abbesche Invariante

Die für eine optische Abbildung benutzte lichtbrechende Eigenschaft einer Linse hängt vom Brechungsindex ihres Materials und von der Form ihrer Grenzflächen ab. Beides zusammen drückt die Brennweite aus. Zusätzlich sind zwei Hauptebenen anzugeben, je eine gegenstands- und eine bildseitige als Bezugsebene für die gegenstands- bzw. die bildseitige Brennweite. Die beiden Brennweiten unterscheiden sich aber nur, wenn das optische Medium vor der Linse nicht mit dem nach der Linse identisch ist.

Sowohl die Brennweiten als auch die Hauptebenen sind ideale Größen, die sich beim Arbeiten nach dem Konzept der paraxialen Optik ergeben. Innerhalb dieses Konzeptes lassen sie sich aus den Material- und den geometrischen Eigenschaften theoretisch angeben, das heißt errechnen. Die Brechung wird an jeder der beiden Grenzflächen getrennt untersucht. Anschließend werden die Ergebnisse und die gegenseitige Lage der Flächen zu Gleichungen für die Größe der Brennweiten und die Lage der Hauptebenen zusammengefasst.

Brechung an einer einzelnen sphärischen Grenzfläche[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Brennweite f' an einer sphärischen Grenzfläche

Die Brennweiten einer einzelnen sphärischen Grenzfläche sind in der Abbeschen Invariante, einer Grundgleichung der paraxialen Optik, mit enthalten. Eine der beiden Schnittweiten ist Brennweite, wenn die andere im Unendlichen liegt, aus dem parallel einfallendes Licht im Brennpunkt gesammelt wird.

Liegt die Schnittweite s im Unendlichen, so wird s' zu f', und aus der Abbeschen Invariante

 n\left(\frac{1}{r} - \frac{1}{s}\right) = n'\left(\frac{1}{r} - \frac{1}{s'}\right)

wird:

f'=r\frac{n'}{n'-n} .

Bei umgekehrter Strahlrichtung liegt die Schnittweite s' im Unendlichen, s wird zu f, und aus der Abbeschen Invariante wird:

f=r\frac{n}{n-n'}.

Die Hauptebene geht durch den Scheitelpunkt S der sphärischen Fläche.

Brechung an einer Linse[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Brennpunkt und bildseitige Hauptebene für zwei Flächen

Bei einer Linse erfolgt die Brechung an zwei in der Regel sphärischen Grenzflächen. Die gemeinsame Brennweite lässt sich unter Beachtung folgender Vorgaben finden:[5]

  • Die Abbildung des bildseitigen Brennpunkts der ersten Fläche durch die zweite Fläche ist der bildseitige Brennpunkt der Linse, denn alle einfallenden parallelen Strahlen passieren sowohl den einen als auch den anderen Punkt (roter Linienzug in nebenstehender Abbildung).
  • Die Verlängerung eines achsparallelen einfallenden Strahles schneidet sich mit dem gebrochen durch die Linse gehenden Strahl in der bildseitigen Hauptebene der Linse (unterbrochene Linie in nebenstehender Abbildung). Dem liegt die Definition der Hauptebenen zugrunde, dass der Abbildungsmaßstab zwischen ihnen 1 ist.

Ein Grundzusammenhang in der optischen Abbildung ist im Winkelverhältnis \gamma' enthalten:

\gamma'_2=\frac{\tan\sigma'_2}{\tan\sigma_2}= \frac{t}{f'_2} .[6][7][8]

Damit lässt sich der Punkt P finden, durch den der rote Linienzug führen muss.

Die Gleichung für die bildseitige Brennweite der Linse lautet mit den Brennweiten f'_2, f_2 und f'_1 der beiden Flächen und ihrem gegenseitigen Abstand d:

f'=\frac{f'_1 f'_2}{d-f'_1-f_2} .[9]

Der Brechungsindex vor und nach der Linse sei gleich und betrage n . Der Brechungsindex des Linsenmaterials ist  n' . Die Brennweiten einer Fläche sind oben hergeleitet und lauten:   f_1'=r_1\frac{n'}{n'-n} ,   f_2'=r_2\frac{n}{n-n'}=-r_2\frac{n}{n'-n} ,   f_2=r_2\frac{n'}{n'-n} .
Mit diesen Angaben lautet das Schlussergebnis für die Brennweiten:

\frac{1}{f'} = \frac{1}{f} = \frac{n'-n}{n} \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right) + \frac{(n'-n)^2d}{n' n r_1 r_2}  .

Die Brennweiten sind Funktionen des Linsenmaterials (n'/n) und der Linsengeometrie (Radien der Grenzflächen und Dicke).

Linse, allgemein: Gleichungen u. a. für Brennweite/n (1) und Lage der Hauptebenen (3) und (2)
ausgeführte Linse: Rechenergebnisse für Brennweiten und Lage der Hauptebenen

Wenn die Linse relativ dünn ist  (d \ll r_1, r_2  ;   bei der dünnen Linse ist definitionsgemäß d=0 ), verkürzt sich obige Gleichung zu

\frac{1}{f} = \frac{1}{f'} =\frac{n'-n}{n} \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right) .

Mit den oben genannten Vorgaben ist auch die Lage der Hauptebenen bestimmt.

Die Entfernung der bildseitigen Hauptebene H' vom Scheitelpunkt H_2 ( S_2  in nebenstehender Abbildung) der bildseitigen Fläche ist

\overline{H_2H'}=\frac{f'_2d}{d-f'_1-f_2} .[10]

Analoges gilt auf der Gegenstandsseite:

\overline{H_1H}=\frac{-f_1d}{d-f'_1-f_2} .

Wenn die Linse relativ dünn ist  (d \ll f'_1, f_2 ), werden diese Abstände zu null. Die Hauptebenen verbleiben auf den Scheiteln der Flächen.

Nebenstehende Abbildung enthält die Ergebnisse, nachdem die oben angegebenen Ausdrücke für die Brennweiten der Flächen eingesetzt worden sind (Gleichungen (3) und (2); mit  n=1 und n'=n ).

Die Lagen der Hauptebenen sind wie die Brennweiten Funktionen des Linsenmaterials (n'/n) und der Linsengeometrie (Radien der Grenzflächen und Dicke).

Mehrere und zusammengesetzte Linsen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Optische Systeme wie Mikroskope, Fernrohre und Objektive enthalten mehrere Linsen. Ihnen können als Einheit gemeinsame Brennweiten und Hauptebenen zugeordnet werden.

Um Abbildungsfehler zu vermindern, werden häufig auch theoretisch als Einzellinsen denkbare Komponenten aus mehreren Linsen zusammengesetzt. Wenn zwei Berührungsflächen die gleiche Krümmung besitzen, können diese zwei Einzellinsen miteinander verkittet werden. Wenn die Einzellinsen dünn sind, ist auch der Abstand zwischen ihnen klein, so dass die Kombination selbst wie eine dünne Linse behandelt werden kann.

Abbildungsfehler[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Abweichungen von der optischen Abbildung einer idealen Linse oder Linsensystems bewirken ein unscharfes oder verzerrtes Bild des abgebildeten Objektes.

Die wichtigsten Abbildungsfehler sind

  1. die sphärische Aberration und die chromatische Aberration
  2. der Astigmatismus und die Koma
  3. die Linsendurchbiegung bei Linsengrößen über etwa 60 cm.
  4. die Bildfeldwölbung und die Verzeichnung.

Die erstgenannten Fehler entstehen durch den üblicherweise kugelförmigen Linsenschliff und die Wellenlängenabhängigkeit der Brechzahl. Beide lassen sich durch Kombination zweier oder mehrerer Linsen reduzieren (siehe Achromat und Apochromat).

Hingegen erfordern Astigmatismus, Koma und Verzeichnungen kompliziertere Maßnahmen, wie asphärische Schliffformen, die Kombination mehrerer Linsengruppen (Anastigmat-Optiken, Weitwinkelobjektive) oder einfach die Beschränkung auf achsnahe Strahlen, durch Verringerung der Apertur oder ein kleineres Sichtfeld.

Oberflächenvergütung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Antireflexbeschichtung

Bei einer realen Linse wird immer ein Teil des Lichtes an der Oberfläche reflektiert. Bei einer Luft-Glas-Grenzfläche (Brechungsindex des Glases: n = 1,5) sind dies etwa 4 Prozent der einfallenden Intensität, d. h. bei einer Linse etwa 8 Prozent. In optischen Baugruppen, die aus mehreren Linsen aufgebaut sind, wie Objektiven, steigen die Verluste weiter fast linear an. So würden die Streuverluste eines fünflinsigen Objektivs auf 34 Prozent, die eines zehnlinsigen Objektivs auf 56 Prozent steigen.

Weiterhin kann mehrfach an den Grenzflächen reflektiertes Licht zusätzlich zum Nutzsignal aus dem System austreten und zu Verfälschungen der Abbildung führen. Um dieses zu vermeiden, werden die Linsenoberflächen in der Regel mit einer Antireflexbeschichtung versehen, man spricht auch von Oberflächenvergütung. Die Vermeidung bzw. Verringerung der beschriebenen Effekte wird dabei durch destruktive Interferenz der reflektierten Strahlen in den Antireflexionsschichten erreicht. (Siehe auch: Anwendung von dünnen Schichten in der Optik.)

Andere Linsentypen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man kann auch mit Teilchen Optik betreiben. Eine Anwendung geschieht im Elektronenmikroskop, wo speziell angeordnete elektrische Felder und magnetische Felder Elektronen fokussieren und ablenken. Das Gleiche geschieht auch in Teilchenbeschleunigern in der Kern- und Hochenergiephysik.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik. Band 2: Elektrizität und Optik. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage, korrigierter Nachdruck. Springer, Berlin u. a. 2002, ISBN 3-540-65196-9.
  • Heinz Haferkorn: Optik. Physikalisch-technische Grundlagen und Anwendungen. 4., bearbeitete und erweiterte Auflage. Wiley-VCH, Weinheim 2003, ISBN 3-527-40372-8.
  • Miles V. Klein, Thomas E. Furtak: Optik. Springer, Berlin u. a. 1988, ISBN 3-540-18911-4.

Einzelnachweise und Anmerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. American Journal of Archaeology, in: Lenses in antiquity, Nr. 91, Vol. 2, S. 191-196
  2. Kriss, Timothy C.; Kriss, Vesna Martich (April 1998). History of the Operating Microscope: From Magnifying Glass to Microneurosurgery, in: Neurosurgery 42 (4), S. 899–907
  3.  Edward D. Palik (Hrsg.): Handbook of Optical Constants of Solids. Band 2, 2nd printing. Academic Press, San Diego CA u. a. 1998, ISBN 0-12-544422-2, S. 815 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  4. Saphir-Linsen, Katalog Datasheets. Laser Components GmbH – 05/10, zuletzt abgerufen am 1. April 2012.
  5. Heinz Haferkorn: Optik. Physikalisch-technische Grundlagen und Anwendungen. 3., bearbeitete und erweiterte Auflage. Barth, Leipzig u. a. 1994, ISBN 3-335-00363-2, S. 198.
  6. Im paraxialen Gebiet: γ' = σ'/σ =
  7. Heinz Haferkorn: Optik. Physikalisch-technische Grundlagen und Anwendungen. 3., bearbeitete und erweiterte Auflage. Barth, Leipzig u. a. 1994, ISBN 3-335-00363-2, S. 199.
  8. Fritz Hodam: Technische Optik. 2., überarbeitete Auflage. VEB Verlag Technik, Berlin 1967, S. 52.
  9. Heinz Haferkorn: Optik. Physikalisch-technische Grundlagen und Anwendungen. 3., bearbeitete und erweiterte Auflage. Barth, Leipzig u. a. 1994, ISBN 3-335-00363-2, S. 198 und 207. Im Unterschied zu Haferkorn werden die Brennweiten hier ohne Vorzeichen geschrieben. Bei den Radien ist die oben genannte Vorzeichenregel zu beachten.
  10. Heinz Haferkorn: Optik. Physikalisch-technische Grundlagen und Anwendungen. 3., bearbeitete und erweiterte Auflage. Barth, Leipzig u. a. 1994, ISBN 3-335-00363-2, S. 200.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Commons: Linse – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien