Lipschitz-Stetigkeit

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Lipschitz-Stetigkeit (nach Rudolf Lipschitz), auch Dehnungsbeschränktheit, bezeichnet in der Analysis eine Verschärfung der Stetigkeit. Anschaulich gesprochen kann eine Lipschitz-stetige Funktion sich nur beschränkt schnell ändern: Alle Sekanten einer Funktion haben eine Steigung, deren Betrag nicht größer ist als eine Konstante, die Lipschitz-Konstante.

Verallgemeinerungen der Lipschitz-Stetigkeit sind die Hölder-Stetigkeit sowie die Lokale Hölder-Stetigkeit.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Funktion heißt Lipschitz-stetig, wenn eine Konstante existiert, so dass

für alle gilt.

Dies ist ein Spezialfall der folgenden, allgemeinen Definition.

Seien und metrische Räume. Eine Funktion heißt Lipschitz-stetig, falls es eine reelle Zahl gibt, sodass

erfüllt ist. wird Lipschitz-Konstante genannt und es gilt stets . Anschaulich gesprochen ist der Betrag der Steigung von nach oben durch beschränkt. Ist eine Funktion Lipschitz-stetig, so sagt man auch, sie erfülle die Lipschitz-Bedingung.

Eine Abschwächung der Lipschitz-Stetigkeit ist die lokale Lipschitz-Stetigkeit. Eine Funktion heißt lokal Lipschitz-stetig, wenn es um jeden Punkt in eine Umgebung gibt, sodass die Einschränkung von auf diese Umgebung Lipschitz-stetig ist. Eine Funktion, die nur auf einer Teilmenge definiert ist, heißt Lipschitz- oder lokal Lipschitz-stetig, wenn sie Lipschitz- oder lokal Lipschitz-stetig bezüglich der metrischen Räume und ist.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Lipschitz-stetige Funktionen sind lokal Lipschitz-stetig (wähle ganz als Umgebung und stets als Lipschitz-Konstante). Lokal Lipschitz-stetige Funktionen sind stetig (wähle in der --Definition der Stetigkeit), und entsprechend sind Lipschitz-stetige Funktionen gleichmäßig stetig. Daher ist Lipschitz-Stetigkeit „stärker“ als gleichmäßige Stetigkeit. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht, so ist z. B. die Funktion zwar Hölder-stetig mit Exponenten und daher gleichmäßig stetig, jedoch nicht Lipschitz-stetig (siehe Beispiel).

Nach dem Satz von Rademacher ist eine Lipschitz-stetige Funktion fast überall differenzierbar. Es gibt jedoch auch Funktionen, die zwar differenzierbar, aber nicht Lipschitz-stetig sind, z. B. . Eine differenzierbare Funktion mit ist genau dann Lipschitz-stetig, wenn ihre erste Ableitung beschränkt ist.

Anwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Lipschitz-Stetigkeit ist ein wichtiges Konzept in der Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen, um Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen zu beweisen (siehe Satz von Picard-Lindelöf). Abbildungen mit einer Lipschitz-Konstante kleiner als eins nennt man Kontraktionen. Diese sind wichtig für den Fixpunktsatz von Banach.

Menge Lipschitz-stetiger Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist (oder allgemeiner ein metrischer Raum), so wird die Menge der reellwertigen Lipschitz-stetigen Funktionen auf gelegentlich mit bezeichnet.

Für (oder allgemeiner für mit der euklidischen Metrik) ist jede affin-lineare Funktion Lipschitz-stetig. Auf einem allgemeinen metrischen Raum sind immerhin alle konstanten Funktionen Lipschitz-stetig. Insbesondere ist nicht leer und enthält die konstante Nullfunktion.

Sind und , so gilt sowie . Damit ist ein reeller Vektorraum, ein Funktionenraum.

Ist die Menge zudem noch beschränkt, so gilt außerdem für das punktweise Produkt . Damit wird zu einer Funktionenalgebra.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für eine Lipschitz-stetige Funktion ist der Quotient

mit durch jede Lipschitz-Konstante von nach oben beschränkt. Für lokal Lipschitz-stetige Funktionen ist der Quotient auf hinreichend kleinen Umgebungen beschränkt.

Daher ist die Funktion mit wegen

zwar stetig und sogar gleichmäßig stetig, jedoch nicht lokal Lipschitz-stetig und folglich auch nicht Lipschitz-stetig.

Für die Funktion mit folgt mit

dass

Das heißt, ist eine Lipschitz-Konstante für diese Funktion auf dem Intervall .

Weil für der Quotient gleich ist, folgt, dass nur für einen beschränkten Definitionsbereich Lipschitz-stetig ist, für einen unbeschränkten jedoch nicht. Die ebenfalls durch definierte Funktion ist deshalb nicht Lipschitz-stetig.

Die Betragsfunktion , definiert als

ist wegen der umgekehrten Dreiecksungleichung Lipschitz-stetig mit , aber sie ist (an der Stelle ) nicht differenzierbar.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]