Logarithmische Konvexität

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Eine logarithmisch konvexe Funktion ist eine positive Funktion , für welche die Verkettung der Funktion mit dem Logarithmus konvex ist. Logarithmische Konvexität von Funktionen ist ein Spezialfall der Konvexität von Funktionen und spielt eine Rolle bei der Charakterisierung der Gammafunktion mittels des Eindeutigkeitssatzes von Bohr-Mollerup und bei Varianten der konvexen Optimierung.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben sei eine Funktion mit und für alle . Dann heißt

  • logarithmisch konvex, wenn konvex ist.
  • logarithmisch konkav, wenn konkav ist.

Ist eine konvexe Menge, so ist dies äquivalent zu

  • ist logarithmisch konvex genau dann, wenn für alle und alle gilt, dass
.
  • ist logarithmisch konkav genau dann, wenn für alle und alle gilt, dass
.

Logarithmische Konvexität lässt sich auch für Funktionen mit definieren, dann muss man auf eine erweiterte Definition von Konvexität von Funktionen zurückgreifen, die auch die Funktionswerte abdeckt.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Da die Komposition konvexer Funktionen, , konvex ist, wenn g monoton steigend ist, und die Exponentialfunktion sowohl konvex als auch monoton steigend ist, sind logarithmisch konvexe Funktionen auch konvex. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht. So ist beispielsweise eine konvexe Funktion, aber ist nicht konvex. Daher ist konvex, aber nicht logarithmisch konvex.
  • Ein besonders wichtiges Beispiel für eine logarithmisch konvexe Funktion ist die Gammafunktion. Nach dem Satz von Bohr-Mollerup ist jede logarithmisch konvexe Funktion auf , die der Funktionalgleichung genügt, ein Vielfaches der Gammafunktion.
  • Einige wichtige Wahrscheinlichkeitsdichten sind logarithmisch konkav, zum Beispiel die der Gauß-Verteilung und der Exponentialverteilung.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Eine Funktion ist genau dann logarithmisch konvex, wenn logarithmisch konkav ist und umgekehrt.
  • Produkte logarithmisch konvexer (konkaver) Funktionen sind wieder logarithmisch konvex (konkav).
  • Die Summe zweier Logarithmisch konvexen Funktionen ist wieder logarithmisch konvex. Die analoge Aussage für logarithmisch konkave Funktionen gilt aber im Allgemeinen nicht.
  • Definiert man , so lässt sich logarithmische Konvexität auch für Funktionen, die den Wert annehmen definieren. Eine Funktion ist dann logarithmisch konvex (konkav), wenn die erweiterte Funktion konvex (konkav) als erweiterte Funktion ist.
  • Da jede logarithmisch konvexe Funktion konvex ist, ist sie auch immer quasikonvex.
  • Des Weiteren übernehmen logarithmisch konvexe Funktionen alle Eigenschaften von konvexen Funktionen, insbesondere sind alle Subniveaumengen und der Epigraph einer logarithmisch konvexen Funktion konvexe Mengen.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Stephen Boyd, Lieven Vandenberghe: Convex Optimization. Cambridge University Press, Cambridge, New York, Melbourne 2004, ISBN 978-0-521-83378-3, S. 104–108 (online).