Logarithmische Konvexität

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Eine logarithmisch konvexe Funktion ist eine positive Funktion f, für die \ln \circ f konvex ist [1]. Da die Komposition konvexer Funktionen, g \circ f, konvex ist, wenn g monoton steigend ist, und die Exponentialfunktion sowohl konvex als auch monoton steigend ist, sind logarithmisch konvexe Funktionen auch konvex. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht. So ist beispielsweise f(x) = x^2 eine konvexe Funktion, aber \log f(x) = \log x^2 = 2 \log |x| ist nicht konvex. Daher ist f(x) = x^2 konvex, aber nicht logarithmisch konvex.

Aus der Definition der Konvexität, der Monotonie der Exponential- und Logarithmusfunktion und den Logarithmengesetzen folgt, dass eine positive Funktion f:I\rightarrow \mathbb{R}^+ genau dann logarithmisch konvex auf dem Intervall I ist, wenn

f(tx+(1-t)y) \leq (f(x))^t(f(y))^{1-t} \ \forall x,y \in I, 0<t<1

Ein besonders wichtiges Beispiel für eine logarithmisch konvexe Funktion ist die Gammafunktion. Nach dem Satz von Bohr-Mollerup ist jede logarithmisch konvexe Funktion auf (0,\infty), die der Funktionalgleichung f(x+1)=xf(x) genügt, ein Vielfaches der Gammafunktion.

Quellen[Bearbeiten]

  1. Königsberger, Analysis 1, 6. Auflage, Springer, Berlin 2004, Kapitel 17.1, S.354, ISBN 3-540-40371-X.