Logarithmische Konvexität

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Eine logarithmisch konvexe Funktion ist eine positive Funktion f, für die Verkettung der Funktion mit dem Logarithmus konvex ist. Logarithmische Konvexität von Funktionen ist eine Verallgemeinerung der Konvexität von Funktionen und spielt eine Rolle bei der Charakterisierung der Gammafunktion mittels des Eindeutigkeitssatzes von Bohr-Mollerup und bei Varianten der konvexen Optimierung.

Definition[Bearbeiten]

Gegeben sei eine Funktion  f: D \mapsto \mathbb{R} mit  D \subset \mathbb{R}^n und  f(x)>0 für alle  x \in D . Dann heißt  f

  • logarithmisch konvex, wenn  \log (f(x)) konvex ist.
  • logarithmisch konkav, wenn  \log (f(x)) konkav ist.

Ist  D eine konvexe Menge, so ist dies äquivalent zu

  •  f ist logarithmisch konvex genau dann, wenn für alle  x,y \in D und alle  \lambda \in [0,1] gilt, dass
f(\lambda x+(1-\lambda)y) \leq f(x)^\lambda f(y)^{1-\lambda} .
  •  f ist logarithmisch konkav genau dann, wenn für alle  x,y \in D und alle  \lambda \in [0,1] gilt, dass
f(\lambda x+(1-\lambda)y) \geq f(x)^\lambda f(y)^{1-\lambda} .

Logarithmische Konvexität lässt sich auch für Funktionen mit  f(x) \geq 0 definieren, dann muss man auf eine erweiterte Definition von Konvexität von Funktionen zurückgreifen, die auch die Funktionswerte  \pm \infty abdeckt.

Beispiele[Bearbeiten]

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Eine Funktion  f ist genau dann logarithmisch konvex, wenn  \frac{1}{f} logarithmisch konkav ist und umgekehrt.
  • Produkte logarithmisch konvexer (konkaver) Funktionen sind wieder logarithmisch konvex (konkav).
  • Die Summe zweier Logarithmisch konvexen Funktionen ist wieder logarithmisch konvex. Die analoge Aussage für logarithmisch konkave Funktionen gilt aber im Allgemeinen nicht.

Literatur[Bearbeiten]