Logarithmisches Mittel

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

In der Mathematik ist das logarithmische Mittel, also der logarithmische Mittelwert, ein bestimmter Mittelwert, der die Logarithmusfunktion verwendet.

Das logarithmische Mittel zweier verschiedener positivreeller Zahlen ist gegeben durch

Um auch den Fall zu erfassen, definiert man allgemeiner

Dann ist .

Das logarithmische Mittel ist eine streng monoton wachsende Funktion. Ferner liegt das logarithmische Mittel zwischen dem arithmetischen und geometrischen Mittel:

[1]

Diese Gleichung gilt für ; Gleichheit genau dann, wenn

Der logarithmische Mittelwert findet in diversen Wissenschaften und technischen Problemen Verwendung. Es tritt meist dann auf, wenn über treibende Gefälle gemittelt wird. Dies ist zum Beispiel bei der integralen Betrachtung von Wärme- oder Stofftransportprozessen der Fall, beispielsweise bei der verfahrenstechnischen Auslegung von Wärmetauschern oder Trennkolonnen.

Analysis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mittelwertsatz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung gibt es zu einer differenzierbaren Funktion ein mit

Für erhält man daraus

, also .

Das ist in diesem Fall also der logarithmische Mittelwert aus und .

Integration[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Außerdem erhält man für die Integration

Verallgemeinerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mehrere Variablen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Verallgemeinerungen des logarithmischen Mittels auf mehr als zwei Variablen wird seltener verwendet und ist uneinheitlich.

Verallgemeinert man die Idee des Mittelwertsatzes etwa ist

wobei die dividierten Differenzen des Logarithmus bezeichnen.

Für , also für drei Variablen, führt dies zu

.

Verallgemeinert man das Integral zu

mit erhielte man

und als Spezialfall für drei Variablen

.

Andere Mittelwerte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Stolarsky-Mittel etwa verallgemeinert das logarithmische Mittel.

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Horst Alzer: Ungleichungen für Mittelwerte. Archiv der Mathematik, Vol 47, Nr. 5 / Nov. 1986. springerlink-PDF
  • A. O. Pittenger: The logarithmic mean in n variables. In: American Mathematical Monthly, 92 (1985), S. 99–104
  • Gao Jia, Jinde Cao: A New Upper Bound of the Logarithmic Mean. Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics 4, 4, 2003, 80.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Eric W. Weisstein: Arithmetic-Logarithmic-Geometric-Mean-Inequality und Napier's Inequality in MathWorld