Lokal integrierbare Funktion

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Eine lokal integrierbare Funktion ist eine Funktion, die auf jedem Kompaktum integrierbar ist, jedoch muss diese Funktion auf gewissen offenen Mengen nicht integrierbar sein. Solche Funktionen werden in der Analysis beziehungsweise Funktionalanalysis als Hilfsmittel eingesetzt. So spielen diese insbesondere in der Distributionentheorie eine wichtige Rolle. Außerdem kann man das Konzept der lokal integrierbaren Funktionen auf die lokal p-integrierbaren Funktionen und auf die lokal schwach differenzierbaren Funktionen übertragen.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In diesem Abschnitt werden die lokal integrierbare Funktion und der Funktionenraum definiert. Sei eine offene Teilmenge und eine lebesgue-messbare Funktion. Die Funktion heißt lokal integrierbar, falls für jedes Kompaktum das Lebesgue-Integral

endlich ist. Die Menge dieser Funktionen wird mit bezeichnet.[1] Identifiziert man alle Funktionen aus miteinander, die fast überall gleich sind, so erhält man den Raum . Im Zusammenhang mit der Distributionentheorie findet man auch die äquivalente Definition

,

wobei die Menge der Äquivalenzklassen der messbaren Funktionen, die fast überall gleich sind, und der Raum der Testfunktionen ist.

Anstatt zu fordern, dass offen ist, wird von anderen Autoren auch als -kompakt vorausgesetzt.[2] Zwar ist es für die Definition des Raums ausreichend, als messbare Menge vorauszusetzen. Für die Definition des Raums der lokal integrierbaren Funktionen wäre diese Allgemeinheit aber ungünstig, da es messbare Mengen gibt, die außer Nullmengen kein Kompaktum enthalten. Dies würde dazu führen, dass jede messbare Funktion lokal integrierbar wäre. Außerdem wären alle Halbnormen konstant Null, die von ihnen induzierte Topologie also indiskret. Funktionen ließen sich in einem solchen Raum nicht trennen. Ein derartiges pathologisches Beispiel erhält man mit , den irrationalen Zahlen.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

ist bei nicht lokal integrierbar.

Lokal p-integrierbare Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Analog zu den -Funktionen kann man auch -Funktionen definieren. Sei offen oder -kompakt. Eine messbare Funktion heißt lokal p-integrierbar, falls der Ausdruck

für und für alle Kompakta existiert.[3]

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

für eine fixierte, lokal integrierbare Funktion definiert ist. Daher identifiziert man den Raum mit der Menge der regulären Distributionen auf . Mit der Abbildung erhält man also eine stetige Einbettung
in den Raum der Distributionen.
  • Eine Funktion ist im Allgemeinen kein Element von . Jedoch gilt für alle .[4]
  • Für gilt
.
Dies gilt für die -Räume im Allgemeinen nicht, außer wenn endliches Maß hat.[4]
  • Sei eine beliebige Folge offener, relativ kompakter Teilmengen von mit , dann ist eine Folge von Halbnormen auf . Mit dieser Halbnorm wird zu einem metrisierbaren lokalkonvexen Vektorraum. Da bezüglich dieser Metrik alle Cauchy-Folgen konvergieren, der Raum also vollständig ist, ist er ein Fréchet-Raum.[5]

Lokal schwach differenzierbare Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Räume der schwach differenzierbaren Funktionen sind die Sobolev-Räume . Da diese Unterräume der sind, definiert man auch für diese ganz analog lokale Sobolev-Räume. Sei offen und . Eine Funktion liegt im Raum , wenn deren -te schwache Ableitung existiert.[6] Diese Definition ist äquivalent zu

,

wobei der Raum der Distributionen ist. Diese Art von Sobolev-Räumen ist ebenfalls ein Fréchet-Raum.[7] Für entspricht der Sobolev-Raum dem Raum der lokal lipschitz-stetigen Funktionen. Schränkt man auf , wobei die Dimension des umgebenden ist, so ist fast überall differenzierbar in und der Gradient von stimmt mit dem Gradienten im Sinne der schwachen Ableitung überein. Da der Raum der lokal lipschitz-stetigen Funktionen ist, folgt der Satz von Rademacher als Spezialfall.[8]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Otto Forster: Analysis 3. Integralrechnung im Rn mit Anwendungen. Vieweg-Verlag, 4. Aufl. 2007, ISBN 3-528-27252-X, Seite 87
  2. Konrad Königsberger: Analysis 2. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg, 2000, ISBN 3-540-43580-8, Seite 281
  3. Juha Heinonen: Lectures on analysis on metric spaces. Springer, 2001, ISBN 0387951040, Seite 5
  4. a b Elliott H. Lieb & Michael Loss: Analysis. American Mathematical Society, Second Edition, 2001, ISBN 0-8218-2783-9, Seite 137
  5. Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis III. 1. Auflage. Birkhäuser-Verlag, Basel/Boston/Berlin 2001, ISBN 3-7643-6613-3, Seite 129
  6. Juha Heinonen: Lectures on analysis on metric spaces. Springer, 2001, ISBN 0387951040, Seite 14-15
  7. Alain Grigis & Johannes Sjöstrand: Microlocal analysis for differential operators: an introduction, Cambridge University Press, 1994, ISBN 0-521-44986-3, Seite 44
  8. Lawrence Evans: Partial Differential Equations. American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0772-2, Seite 280-281

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]