Lokal konstante Funktion

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Die auf beschränkte Vorzeichenfunktion ist lokal konstant

In der Mathematik heißt eine Funktion von einem topologischen Raum in eine Menge lokal konstant, wenn für jedes eine Umgebung von existiert, auf der konstant ist.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Jede konstante Funktion ist auch lokal konstant.
  • Jede lokal konstante Funktion von in eine beliebige Menge ist konstant, da zusammenhängend ist und nicht durch mindestens zwei disjunkte offene Mengen zu überdecken ist.
  • Jede lokal konstante holomorphe Funktion von einer offenen Menge in die komplexen Zahlen ist konstant, wenn ein Gebiet ist, also zusammenhängend ist.
  • Allgemein ist jede lokal konstante Funktion konstant auf jeder Zusammenhangskomponente, für lokal zusammenhängende Räume gilt auch die Umkehrung.
  • Eine Abbildung von einem topologischen Raum in einen diskreten Raum ist genau dann stetig, wenn sie lokal konstant ist.
  • Jede Abbildung von einem diskreten Raum in einen beliebigen topologischen Raum ist lokal konstant.
  • Die Menge der lokal konstanten Funktionen auf einem Raum bilden auf natürliche Weise eine Garbe kommutativer Ringe.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die Funktion , definiert durch für und für ist lokal konstant. (Hierbei geht ein, dass irrational ist, da so und offene Mengen sind, die überdecken.)
  • Die Funktion , definiert durch für und für , ist ebenso lokal konstant.
  • Die Vorzeichenfunktion ist nicht lokal konstant.
  • Treppenfunktionen sind nicht lokal, sondern stückweise konstant