Lucas-Folge

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Unter der Lucas-Folge versteht man zwei unterschiedliche Dinge:

  • Einerseits die Folge der Lucas-Zahlen
2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, …
bei der jedes Folgenglied (ab dem dritten) die Summe der beiden vorhergehenden ist.
  • Andererseits die beiden allgemeinen Lucas-Folgen und , die abhängig von den Parametern und definiert sind als diejenigen Folgen, die
bzw.
erfüllen und den Rekursionsformeln
bzw.
für n > 1 genügen.
Im Spezialfall und ist die Folge der Fibonacci-Zahlen, die oben definierte spezielle Lucas-Folge.

Die Lucas-Folgen sind nach dem französischen Mathematiker Édouard Lucas benannt, der sich als erster mit ihnen beschäftigt hat.

Explizite Formeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Vorbereitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zur Bestimmung der Folgenglieder der allgemeinen Lucas-Folge muss vorbereitend die zugeordnete quadratische Gleichung gelöst werden.

Für die expliziten Formeln werden die beiden Lösungen und der quadratischen Gleichung benötigt. Es sind dies

und

Ist , so ist eine der beiden komplexen Wurzeln zu wählen. Welche der beiden Zahlen und welche genannt wird, ist hierbei nicht von Belang.

Die Parameter und und die Werte und sind voneinander abhängig, es gilt umgekehrt

(Satzgruppe von Vieta)

Die Formeln für a und b lassen sich in Bezug auf die Potenzen verallgemeinern. Und zwar gilt:


Die allgemeinen Lucas-Folgen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Falls gilt, oder äquivalent dazu: falls die Zahlen und verschieden sind, so berechnet sich das Glied der allgemeinen Lucas-Folge nach folgender Formel:

für alle . Im Spezialfall gilt stattdessen

Das Glied der allgemeinen Lucas-Folge berechnet sich nach folgender Formel:

für alle

Beziehungen zwischen den Folgegliedern[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Auswahl der Beziehungen zwischen den Folgengliedern ist:[1]

  • , falls
  • ; für alle

Spezialfälle[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

P Q a b U(P,Q) V(P,Q)
1 -1 Fibonacci-Folge Lucas-Folge
2 -1 Pell-Folge Companion Pell-Folge
1 -2 Jacobsthal-Folge
A+1 A A 1 ai = 1+ai-1·A mit a0=0 An+1 Folge
3 -10 5 -2 Folge A015528 in OEIS
4 -5 5 -1 Folge A015531 in OEIS
5 -6 6 -1 Folge A015540 in OEIS
8 -9 9 -1 Folge A015577 in OEIS

Die allgemeinen Lucas-Folgen U(P,Q), V(P,Q) und die Primzahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die allgemeinen Lucas-Folgen und haben für ganzzahlige Parameter und eine spezielle Eigenschaft hinsichtlich der Teilbarkeit durch Primzahlen. Diese Eigenschaft wurde für Verfahren zur Bestimmung der Primalität einer Zahl angewandt (siehe auch Lucas-Lehmer-Test).[2]

Die Folgen U(P,Q)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für alle Lucas-Folgen gilt:

Ist p eine Primzahl, so ist durch p teilbar.

Dabei ist das Legendre-Symbol.

Es existieren auch zusammengesetzte Zahlen, die diese Bedingung erfüllen. Diese Zahlen nennt man Lucas-Pseudoprimzahlen.

Die Folgen V(P,Q)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für alle Lucas-Folgen gilt:

Ist p eine Primzahl, so ist durch p teilbar.

Eine zusammengesetzte Zahl, die diese Bedingung (im Fall von P > 0 und ) erfüllt, heißt Fibonacci-Pseudoprimzahl.

Besonders interessant ist die Teilbarkeitsbedingung für die Folge . Für diese Folge gilt nämlich:

Wenn n eine Primzahl ist, dann gilt: n teilt .

Dies ist eine spezielle Form des kleinen Fermatschen Satz.

Analog zu gilt hier .

Die spezielle Lucas-Folge[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die allgemein als Lucas-Folge bekannte Folge der Lucas-Zahlen 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, … lässt sich außer durch die Rekursion mit den Anfangswerten und auch wie folgt erzeugen:

1) Wie im allgemeinen Fall für die Folgen erwähnt, über die Formel von Binet (nach Jacques Philippe Marie Binet):

,

da und gilt. a ist übrigens die goldene Zahl .

2) Eine andere rekursive Formel (mit Gaußklammer):

3) Als Summe zweier Glieder der Fibonacci-Folge:

.

Nach 1) lässt sich alternativ auch schreiben. Da für n > 1 der Betrag von stets kleiner 0,5 ist, ergibt sich die Eigenschaft dass die n-te (n > 1) Lukaszahl dem gerundeten Wert der Golden Zahl zur Potenz n entspricht: .

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Siehe Ribenboim: Die Welt der Primzahlen, S. 44–70.
  2. Siehe das schon angegebene Kapitel im Buch von Ribenboim.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]