M-Schätzer

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M-Schätzer (von Maximum-Likelihood-Artig) stellen eine Klasse von Schätzfunktionen dar, die als Verallgemeinerung der Maximum-Likelihood-Methode angesehen werden können. M-Schätzer sind im Vergleich zu anderen Schätzern wie z. B. den Maximum-Likelihood-Schätzern robuster gegen Ausreißer.

Dieser Artikel behandelt M-Schätzer zur Ermittlung des Lageparameters.

Herleitung durch Verallgemeinerung der Maximum-Likelihood-Methode[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Prinzip von Maximum-Likelihood-Schätzern beruht darauf, die Funktion

mit entsprechender Dichte- bzw. Wahrscheinlichkeitsfunktion in Abhängigkeit von zu minimieren.

Die Idee bei M-Schätzern ist, die Funktion durch eine Funktion zu ersetzen, welche weniger empfindlich auf Ausreißer reagiert. Aufgabe ist es, den Ausdruck

in Abhängigkeit von zu minimieren, bzw. die Gleichung

mit

zu lösen.

Jede Lösung dieser Gleichung wird M-Schätzer genannt.

Implizite Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine beliebige Verteilungsfunktion und eine gerade und monoton wachsende Funktion ungleich 0. Dann ist definiert als die Lösung der Gleichung

Beachtet werden muss, dass abhängig von der Wahl von und es entweder keine, eine oder mehrere Lösungen geben kann. Im Falle einer konkreten Stichprobe wird , die Lösung von

M-Schätzer genannt.

Geeignete Funktionen ρ[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Folgenden sind die gemäß

standardisiert, um Skaleninvarianz zu erreichen. stellt hierbei einen Streuungschätzer dar, für den meist der MAD (Median Absolute Deviation) verwendet wird.

Methode
Kleinste-Quadrate-Methode
Huber-k-Schätzer
Hampel-Schätzer
Andrews wave
Tukey's biweight

Die Gewichtsfunktionen im folgenden Bild zeigen die Unterschiede zwischen den Schätzern auf: bei Huber-k haben auch extreme Beobachtungen ein geringes Gewicht, beim Hampel-, Andrews wave- und Tukey's biweight-Schätzer wird extremen Beobachtungen das Gewicht Null zugeordnet.

Gewichtsfunktionen w(z) für verschiedene M-Schätzer. Die Parameterwerte entsprechen den Standardwerten von SPSS.

Robustheit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei geeigneter Wahl von (gerade, beschränkt und monoton steigend) haben M-Schätzer einen Bruchpunkt von

Numerische Lösungsmethode[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für viele Funktionen lässt sich keine explizite Lösung angeben, sie muss daher numerisch berechnet werden. Wie üblich zur Berechnung von Nullstellenproblemen bietet sich auch hier das Newton-Raphson-Verfahren an, und es ergibt sich folgende Iterationsvorschrift, wobei wiederum  :

Als geeigneter Startwert wird meist der Median verwendet. Dieses Iterationsverfahren konvergiert sehr schnell, meist sind zwei bis drei Iterationsschritte ausreichend.

W-Schätzer[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

W-Schätzer sind M-Schätzern sehr ähnlich und liefern im Normalfall gleiche Ergebnisse. Der einzige Unterschied liegt in der Lösung des Minimierungsproblems. W-Schätzer werden meist bei der robusten Regression eingesetzt.

Es wird die Wichtungsfunktion

mit

eingeführt, mit deren Hilfe das Minimierungsproblem umgeschrieben werden kann in

Einsetzen der Definition von , ausmultiplizieren und umstellen ergibt schließlich über die Fixpunktgleichung

die Iterationsvorschrift

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Sogenannte RANSAC-Algorithmen

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Robert G. Staudte: Robust estimation and testing. Wiley, New York 1990. ISBN 0-471-85547-2
  • Rand R. Wilcox: Introduction to robust estimation and hypothesis testing. Academic Press, San Diego Cal 1997. ISBN 0-12-751545-3