Madelunggleichungen

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Die Madelunggleichungen sind eine von Erwin Madelung (1881–1972) formulierte Alternative der Schrödingergleichung.

Ersetzt man dort die komplexe Funktion \psi durch ihren Betrag \rho und ihre Phase S gemäß \psi= \sqrt{\rho} e^{\frac{i}{\hbar} S} , so erhält man die Madelunggleichungen:

\partial_t \rho +\frac{1}{m}\nabla(\rho\nabla S)= 0


\partial_t S +\frac{1}{2m}(\nabla S)^2 +V(x)- \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\Delta \sqrt{\rho}}{\sqrt{\rho}} = 0.

Die erste hat die Form einer Kontinuitätsgleichung,

die zweite ist eine Hamilton-Jacobi-Gleichung (siehe Kanonische Gleichungen).

S wird als Wirkung interpretiert, \nabla S als Impuls.

Aufgrund ihrer Nichtlinearität sind die Madelunggleichungen schwierig zu handhaben, zeigen aber, dass es nichtlineare Gleichungen gibt, die sich auf lineare Gleichungen zurückführen lassen.