Majorantenkriterium

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Das Majorantenkriterium ist ein mathematisches Konvergenzkriterium für unendliche Reihen. Die Grundidee ist, eine Reihe durch eine größere, so genannte Majorante, abzuschätzen, deren Konvergenz bekannt ist. Umgekehrt kann mit einer Minorante die Divergenz nachgewiesen werden.

Formulierung des Kriteriums[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine unendliche Reihe

mit reellen oder komplexen Summanden gegeben. Gibt es nun eine konvergente unendliche Reihe

mit nichtnegativen reellen Summanden und gilt für fast alle n:

dann ist die Reihe S absolut konvergent. Man sagt, die Reihe S wird von T majorisiert oder T ist die Majorante von S.

Kehrt man diesen Schluss um, erhält man das Minorantenkriterium: Sind S und T Reihen mit nichtnegativen reellen Summanden bzw. , und gilt

für fast alle n, dann folgt: Ist T diesmal divergent, dann ist auch S divergent.

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Konvergiert die Reihe , dann gibt es zu jedem ein , so dass für alle gilt (Cauchykriterium).

Aus der Dreiecksungleichung und folgt . Daraus folgt die (absolute!) Konvergenz von nach dem Cauchykriterium.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die geometrische Reihe

ist konvergent. Wegen konvergiert somit auch die Reihe

.

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Majorantenkriterium wird auch als allgemeinste Form eines Vergleichskriteriums 1. Art bezeichnet, alle weiteren ergeben sich durch das Einsetzen konkreter Reihen für . Am prominentesten sind dabei das Wurzelkriterium und das Quotientenkriterium, in welchen die geometrische Reihe als Vergleichsreihe gewählt wird.


Ebenfalls lässt sich aus dem Majoranten- bzw. Minorantenkriterium das Cauchysche Verdichtungskriterium herleiten, mit dem sich beispielsweise zeigen lässt, dass die harmonische Reihe

konvergent für und divergent für ist.

Das Majorantenkriterium kann auf den Fall normierter Vektorräume ausgedehnt werden, es besagt dann, dass falls für fast alle n gilt, die Partialsummenfolge von eine Cauchy-Folge ist. Ist der Raum vollständig, d.h. ein Banachraum, so konvergiert S, falls T konvergiert. Insbesondere folgt daraus der Fixpunktsatz von Banach, der in vielen konstruktiven Sätzen der Analysis benutzt wird.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]