Martingalkonvergenzsatz

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Als Martingalkonvergenzsatz oder Doobscher Martingalkonvergenzsatz (benannt nach Joseph L. Doob) werden in der Wahrscheinlichkeitstheorie bestimmte Aussagen über die Konvergenz von Martingalen bezeichnet. Ein Martingal ist ein spezieller stochastischer Prozess, der als Formalisierung und Verallgemeinerung eines fairen Glücksspiels angesehen werden kann. Unter Zusatzvoraussetzungen an die Beschränktheit des Prozesses lässt sich dessen Konvergenz folgern. Dabei unterscheiden sich die verschiedenen Versionen des Satzes hinsichtlich der Art der Beschränktheit und der Art der Konvergenz. Wesentliches Hilfsmittel bei dem Beweis ist die Aufkreuzungsungleichung. Analoge Konvergenzsätze existieren auch für Rückwärtsmartingale.

Voraussetzungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Auf einem Wahrscheinlichkeitsraum mit einer Filtrierung und sei eine Folge reeller Zufallsvariablen gegeben, die an die Filtrierung adaptiert ist und integrierbar ist. Das bedeutet, dass für alle die Zufallsvariable messbar bezüglich ist und erfüllt.

Der Prozess heißt Martingal, wenn für alle die Gleichung gilt. Gilt stattdessen für alle dann wird der Prozess ein Submartingal genannt. Im Fall für alle heißt der Prozess Supermartingal. Jedes Martingal ist ein Sub- und ein Supermartingal. Ein Prozess ist genau dann ein Supermartingal, wenn ein Submartingal ist.

Versionen des Martingalkonvergenzsatzes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Fast sichere Konvergenz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei ein Submartingal und es gebe eine Konstante mit für alle das heißt, der Erwartungswert der Positivteile ist beschränkt. Dann existiert eine -messbare Zufallsvariable mit fast sicher.

Konvergenz in p-ten Mittel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei und es gebe eine Konstante mit für alle das heißt, die Folge ist beschränkt in im Raum Dann existiert eine -messbare Zufallsvariable mit fast sicher und in .

Die Aussage ist für im Allgemeinen falsch: Ein in beschränktes Martingal muss nicht unbedingt in konvergieren.

Konvergenz bei gleichgradiger Integrierbarkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist ein gleichgradig integrierbares Submartingal, dann existiert eine -messbare Zufallsvariable mit fast sicher und in .

Weiter gilt und, im Falle dass ein Martingal ist, sogar . Man sagt, das Martingal wird durch abgeschlossen.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der einfache symmetrische Random Walk mit unabhängigen identisch verteilten und ist ein Martingal. Wegen ist kein Pfad konvergent.

Für ist durch eine Stoppzeit gegeben und das gestoppte Martingal mit ist ebenfalls ein Martingal. Wegen erfüllt es die Voraussetzungen des Martingalkonvergenzsatzes für fast sichere Konvergenz. Der einzig mögliche Grenzwert ist , es gilt also

fast sicher.

Insbesondere folgt, dass gilt.

Wegen ist das Martingal in beschränkt. Es konvergiert jedoch nicht in gegen , denn in diesem Fall müsste auch gegen konvergieren, im Widerspruch zu für alle .

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8, Abschnitt 11.2.