Mathieusche Differentialgleichung

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Als Mathieusche Differentialgleichung wird eine spezielle lineare gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung bezeichnet. Die DGL ist nach dem Mathematiker Émile Léonard Mathieu benannt und ist ein Spezialfall der Hillschen Differentialgleichung mit der Parameterfunktion

Normalform[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Gleichung wird in der Literatur in unterschiedlicher Form dargestellt. Eine als Normalform bezeichnete Gleichung [1] hat die Gestalt

Ist x eine Funktion der Zeit

so stehen die Abkürzungen und für

Alternative Darstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die DGL wird auch, unter Anderem, folgendermaßen angegeben [2][3]

Lösungseigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Mathieusche Differentialgleichung lässt sich als lineares Differentialgleichungssystem erster Ordnung mit zwei Gleichungen darstellen:

Die Koeffizientenmatrix ist hier -periodisch. Nach dem Satz von Floquet lässt sich die Fundamentalmatrix beschreiben als

Dabei ist und ebenfalls -periodisch. Durch die Berechnung der jordanschen Normalform der Matrix ergeben sich zwei Fälle:

  1. hat zwei verschiedene (komplexe) Eigenwerte : In diesem Fall sind die Lösungen von der Form und , wobei jeweils -periodisch sind.
  2. hat einen einzigen Eigenwert : Hier sind die Lösungen von der Gestalt und mit einer -periodischen Funktion .

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Kurt Magnus: Schwingungen: Eine Einführung in die physikalischen Grundlagen und die theoretische Behandlung von Schwingungsproblemen. 8., überarb. Auflage, Vieweg+Teubner, 2008, Kapitel 4, ISBN 3-8351-0193-5.
  2. NIST Digital Library of Mathematical Functions: Mathieu Functions and Hill’s Equation (englisch)
  3. Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 1: Mechanik und Wärme. Springer, 2008, Kapitel 11.7, ISBN 3-540-79294-5.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]