Matrizenaddition

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Bei der Matrizenaddition weisen alle beteiligten Matrizen die gleiche Spalten- und Zeilenzahl auf.

Die Matrizenaddition oder Matrixaddition ist in der Mathematik eine additive Verknüpfung zweier Matrizen gleicher Größe. Das Ergebnis einer Matrizenaddition wird Matrizensumme, Matrixsumme oder Summenmatrix genannt und ergibt sich durch komponentenweise Addition der jeweils entsprechenden Einträge der beiden Ausgangsmatrizen. Die Matrizenaddition ist assoziativ, kommutativ und mit der Matrizenmultiplikation distributiv.

Die Menge der Matrizen bildet mit der Matrizenaddition eine additive Gruppe, deren neutrales Element die Nullmatrix ist. Die Menge der quadratischen Matrizen über einem Ring bildet mit der Matrizenaddition und der Matrizenmultiplikation wiederum einen Ring. Die Menge der Matrizen über einem Körper bildet mit der Matrizenaddition und der Skalarmultiplikation einen Vektorraum.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei der Berechnung der Matrizensumme werden die Matrixeinträge komponentenweise addiert.

Ist ein Ring und sind sowie zwei Matrizen über , dann wird die Matrizensumme von und durch

definiert.[1] Die Summenmatrix ergibt sich demnach durch komponentenweise Addition der entsprechenden Einträge der beiden Ausgangsmatrizen. Sie ist dabei nur für den Fall definiert, dass die beiden Ausgangsmatrizen die gleiche Größe aufweisen. Die Ergebnismatrix besitzt dann ebenfalls diese Größe.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Matrizensumme der beiden reellen (2 × 2)-Matrizen

  und  

ergibt sich als

.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Matrizenaddition erbt die Eigenschaften des zugrunde liegenden Rings. Sie ist assoziativ, das heißt für Matrizen gilt

.

und kommutativ, also

.

Weiter ist die Matrizenaddition verträglich mit der Multiplikation von Skalaren , das heißt

.

Zusammen mit der Matrizenmultiplikation gelten zudem die Distributivgesetze

  und   .

Weiter gilt für die transponierte Matrix einer Summe zweier Matrizen

.

Die Summe zweier symmetrischer Matrizen ist demnach wieder symmetrisch.

Algebraische Strukturen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Matrizen als Gruppe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Menge der Matrizen fester Größe bildet mit der Matrizenaddition eine additive Gruppe . Das neutrale Element in dieser Gruppe ist die Nullmatrix , bei der alle Einträge gleich dem Nullelement in sind. Somit gilt für alle Matrizen

.

Das zu einer Matrix additiv inverse Element ist dann die Matrix

,

wobei das additiv inverse Element zu in darstellt. Die Differenz zweier Matrizen ist damit gegeben durch[2]

.

Matrizenringe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Matrizenring

Die Menge der quadratischen Matrizen fester Größe bildet mit der Matrizenaddition und der Matrizenmultiplikation einen (nichtkommutativen) Ring . Ist der zugrunde liegende Ring unitär, dann ist auch der zugehörige Matrizenring unitär, wobei das Einselement durch die Einheitsmatrix dargestellt wird.

Ebenfalls einen Ring bildet die Menge der Matrizen beliebiger fester Größe mit der Matrizenaddition und dem Hadamard-Produkt . Ist unitär, dann besitzt auch dieser Matrizenring ein Einselement, die Einsmatrix , bei der alle Elemente gleich dem Einselement des Ausgangsrings sind.

Matrizenraum[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Matrizenraum

Die Menge der Matrizen beliebiger fester Größe über einem Körper bildet mit der Matrizenaddition und der Skalarmultiplikation einen Vektorraum . Die Standardbasis für diesen Matrizenraum besteht aus der Menge der Standardmatrizen , bei denen der Eintrag an der Stelle eins ist und alle anderen Einträge null sind. Der Matrizenraum hat demnach die Dimension .

Ist eine Matrix über dem Körper der reellen oder komplexen Zahlen und eine Matrixnorm, dann gilt, per Definition einer Norm, die Dreiecksungleichung

.

Die Norm einer Matrizensumme ist demnach höchstens so groß wie die Summe der Normen der Summanden.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Artin: Algebra. S. 2.
  2. Leiserson, Rivest, Stein: Algorithmen – eine Einführung. S. 1230.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]