Matrix (Mathematik)

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Schema für eine allgemeine m×n-Matrix

In der Mathematik versteht man unter einer Matrix (Plural Matrizen) eine rechteckige Anordnung (Tabelle) von Elementen meist mathematischer Objekte, etwa Zahlen. Mit diesen Objekten lässt sich dann in bestimmter Weise rechnen, indem man Matrizen addiert oder miteinander multipliziert. Matrizen können beliebige Dimensionalität besitzen.

Matrizen sind ein Schlüsselkonzept der linearen Algebra und tauchen in fast allen Gebieten der Mathematik auf. Sie stellen Zusammenhänge, in denen Linearkombinationen eine Rolle spielen, übersichtlich dar und erleichtern damit Rechen- und Gedankenvorgänge. Sie werden insbesondere dazu benutzt, lineare Abbildungen darzustellen und lineare Gleichungssysteme zu beschreiben und zu lösen.

Die Bezeichnung Matrix wurde 1850 von James Joseph Sylvester eingeführt.

Eine Anordnung, wie in nebenstehender Abbildung, von Elementen erfolgt in Zeilen und Spalten.

Begriffe und erste Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Notation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Als Notation hat sich die Anordnung der Elemente in Zeilen und Spalten zwischen einer großen öffnenden und einer schließenden Klammer durchgesetzt. In der Regel verwendet man runde Klammern, es werden aber auch eckige verwendet. Zum Beispiel bezeichnen

und

eine Matrix mit zwei Zeilen und drei Spalten. Die Matrix an sich wird durch (manchmal fettgedruckte bzw. handschriftlich gelegentlich einfach oder doppelt unterstrichene) Großbuchstaben, vorzugsweise A, bezeichnet. Eine allgemeine Matrix mit Zeilen und Spalten könnte so aussehen:

Elemente der Matrix[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Elemente der Matrix nennt man auch Einträge oder Komponenten der Matrix. Sie entstammen einer Menge in der Regel einem Körper oder einem Ring. Man spricht von einer Matrix über . Wählt man für die Menge der reellen Zahlen, so spricht man von einer reellen Matrix, bei komplexen Zahlen von einer komplexen Matrix.

Ein bestimmtes Element beschreibt man durch zwei Indizes, meist ist das Element in der ersten Zeile und der ersten Spalte durch beschrieben. Allgemein bezeichnet das Element in der -ten Zeile und der -ten Spalte. Bei der Indizierung wird dabei stets als erstes der Zeilenindex und als zweites der Spaltenindex des Elements genannt (Merkregel: „Zeile zuerst, Spalte später“). Wenn Verwechslungsgefahr besteht, werden die beiden Indizes mit einem Komma abgetrennt. So wird zum Beispiel das Matrixelement in der ersten Zeile und der elften Spalte mit bezeichnet.

Einzelne Zeilen und Spalten werden oft als Spalten- oder Zeilenvektoren bezeichnet. Ein Beispiel:

hier sind und die Spalten bzw. Spaltenvektoren und und die Zeilen bzw. Zeilenvektoren.

Typ[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Typ einer Matrix ergibt sich aus der Anzahl ihrer Zeilen und Spalten. Eine Matrix mit Zeilen und Spalten nennt man eine -Matrix (sprich: „m mal n“- oder „m Kreuz n“-Matrix). Stimmen Zeilen- und Spaltenanzahl überein, so spricht man von einer quadratischen Matrix.

Eine Matrix, die aus nur einer Spalte oder nur einer Zeile besteht, wird üblicherweise als Vektor aufgefasst. Einen Vektor mit Elementen kann man je nach Kontext als einspaltige -Matrix oder einzeilige -Matrix darstellen. Neben den Begriffen Spaltenvektor und Zeilenvektor sind hierfür auch die Begriffe Spaltenmatrix und Zeilenmatrix geläufig. Eine -Matrix ist sowohl Spalten- als auch Zeilenmatrix und wird als Skalar angesehen.

Formale Darstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Matrix ist eine doppelt indizierte Familie. Formal ist dies eine Funktion

die jedem Indexpaar als Funktionswert den Eintrag zuordnet. Beispielsweise wird dem Indexpaar als Funktionswert der Eintrag zugeordnet. Der Funktionswert ist also der Eintrag in der -ten Zeile und der -ten Spalte. Die Variablen und entsprechen der Anzahl der Zeilen bzw. Spalten. Nicht zu verwechseln mit dieser formalen Definition einer Matrix als Funktion ist, dass Matrizen selbst lineare Abbildungen beschreiben.

Die Menge aller -Matrizen über der Menge wird in üblicher mathematischer Notation auch geschrieben; hierfür hat sich die Kurznotation eingebürgert. Manchmal werden auch die Schreibweisen oder seltener benutzt.

Addition und Multiplikation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Auf dem Raum der Matrizen werden elementare Rechenoperationen definiert.

Matrizenaddition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Matrizenaddition

Zwei Matrizen können addiert werden, wenn sie vom selben Typ sind, das heißt, wenn sie dieselbe Anzahl von Zeilen und dieselbe Anzahl von Spalten besitzen. Die Summe zweier -Matrizen berechnet sich, indem man jeweils die Einträge der beiden Matrizen addiert:

Rechenbeispiel:

In der linearen Algebra sind die Einträge der Matrizen üblicherweise Elemente eines Körpers, wie z. B. der reellen oder komplexen Zahlen. In diesem Fall ist die Matrizenaddition assoziativ, kommutativ und besitzt mit der Nullmatrix ein neutrales Element. Im Allgemeinen besitzt die Matrizenaddition diese Eigenschaften jedoch nur, wenn die Einträge Elemente einer algebraischen Struktur sind, die diese Eigenschaften hat.

Skalarmultiplikation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Skalarmultiplikation

Eine Matrix wird mit einem Skalar multipliziert, indem alle Einträge der Matrix mit dem Skalar multipliziert werden:

Rechenbeispiel:

Die Skalarmultiplikation darf nicht mit dem Skalarprodukt verwechselt werden. Um die Skalarmultiplikation durchführen zu dürfen, müssen der Skalar (Lambda) und die Einträge der Matrix demselben Ring entstammen. Die Menge der -Matrizen ist in diesem Fall ein (Links-) Modul über

Matrizenmultiplikation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Matrizenmultiplikation

Zwei Matrizen können multipliziert werden, wenn die Spaltenanzahl der linken mit der Zeilenanzahl der rechten Matrix übereinstimmt. Das Produkt einer -Matrix und einer -Matrix ist eine -Matrix deren Einträge berechnet werden, indem die Produktsummenformel, ähnlich dem Skalarprodukt, auf Paare aus einem Zeilenvektor der ersten und einem Spaltenvektor der zweiten Matrix angewandt wird:

Die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ, d. h. im Allgemeinen gilt . Die Matrizenmultiplikation ist allerdings assoziativ:

Eine Kette von Matrix-Multiplikationen kann daher unterschiedlich geklammert werden. Das Problem, eine Klammerung zu finden, die zu einer Berechnung mit der minimalen Anzahl von elementaren arithmetischen Operationen führt, ist ein Optimierungsproblem. Die Matrizenaddition und Matrizenmultiplikation genügen zudem den beiden Distributivgesetzen:

für alle -Matrizen und -Matrizen sowie

für alle -Matrizen und -Matrizen

Quadratische Matrizen können mit sich selbst multipliziert werden, analog zur Potenz bei den reellen Zahlen führt man abkürzend die Matrixpotenz oder etc. ein. Damit ist es auch sinnvoll, quadratische Matrizen als Elemente in Polynome einzusetzen. Zu weitergehenden Ausführungen hierzu siehe unter charakteristisches Polynom. Zur einfacheren Berechnung kann hier die jordansche Normalform verwendet werden. Quadratische Matrizen über oder kann man darüber hinaus sogar in Potenzreihen einsetzen, vgl. Matrixexponential. Eine besondere Rolle bezüglich der Matrizenmultiplikation spielen die quadratischen Matrizen über einem Ring , also . Diese bilden selbst mit der Matrizenaddition und -multiplikation wiederum einen Ring, der Matrizenring genannt wird.

Weitere Rechenoperationen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Transponierte Matrix[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Transponierte Matrix
Animation zur Transponierung der Matrix A

Die Transponierte einer -Matrix ist die -Matrix , das heißt zu

ist

die Transponierte. Man schreibt also die erste Zeile als erste Spalte, die zweite Zeile als zweite Spalte usw. Die Matrix wird an ihrer Hauptdiagonalen gespiegelt. Es gelten die folgenden Rechenregeln:

Bei Matrizen über ist die adjungierte Matrix genau die transponierte Matrix.

Inverse Matrix[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Inverse Matrix

Falls die Determinante einer quadratischen -Matrix über einem Körper nicht gleich Null ist, d. h. für , existiert die zur Matrix inverse Matrix , für die

gilt, wobei die -Einheitsmatrix ist. Matrizen, die eine inverse Matrix besitzen, bezeichnet man als invertierbare oder reguläre Matrizen. Diese haben vollen Rang. Umgekehrt werden nichtinvertierbare Matrizen als singuläre Matrizen bezeichnet.

Vektor-Vektor-Produkte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Matrixprodukt zweier -Vektoren und ist nicht definiert, da die Anzahl der Spalten von im Allgemeinen ungleich der Anzahl der Zeilen von ist. Die beiden Produkte und existieren jedoch.

Das erste Produkt ist eine -Matrix, die als Zahl interpretiert wird; sie wird das Standardskalarprodukt von und genannt und mit oder bezeichnet. Geometrisch entspricht dieses Skalarprodukt in einem kartesischen Koordinatensystem dem Produkt

der Beträge der beiden Vektoren und des Kosinus des von den beiden Vektoren eingeschlossenen Winkels. Beispielsweise gilt

Das zweite Produkt ist eine -Matrix und heißt dyadisches Produkt oder Tensorprodukt von und (geschrieben ). Seine Spalten sind skalare Vielfache von , seine Zeilen skalare Vielfache von . Beispielsweise gilt

Vektorräume von Matrizen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Matrizenraum

Die Menge der -Matrizen über einem Körper bildet mit der Matrizenaddition und der Skalarmultiplikation einen -Vektorraum. Dieser Vektorraum hat die Dimension . Eine Basis von ist gegeben durch die Menge der Einheitsmatrizen mit , . Diese Basis wird manchmal auch als Standardbasis von bezeichnet.

Die Spur des Matrixprodukts

ist dann im Spezialfall ein reelles Skalarprodukt. In diesem euklidischen Vektorraum stehen die symmetrischen Matrizen und die schiefsymmetrischen Matrizen senkrecht aufeinander. Ist eine symmetrische und eine schiefsymmetrische Matrix, so gilt .

Im Spezialfall ist die Spur des Matrixproduktes

ein komplexes Skalarprodukt und der Matrizenraum wird zu einem unitären Vektorraum. Dieses Skalarprodukt wird auch Frobenius-Skalarprodukt genannt. Die von dem Frobenius-Skalarprodukt induzierte Norm heißt Frobeniusnorm und mit ihr wird der Matrizenraum zu einem Banachraum.

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zusammenhang mit linearen Abbildungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Besondere an Matrizen über einem Ring ist der Zusammenhang zu linearen Abbildungen. Zu jeder Matrix lässt sich eine lineare Abbildung mit Definitionsbereich (Menge der Spaltenvektoren) und Wertebereich definieren, indem man jeden Spaltenvektor auf abbildet. Umgekehrt entspricht jeder linearen Abbildung auf diese Weise genau eine -Matrix ; dabei sind die Spalten von die Bilder der Standard-Basisvektoren von unter . Diesen Zusammenhang zwischen linearen Abbildungen und Matrizen bezeichnet man auch als (kanonischen) Isomorphismus

Er stellt bei vorgegebenem und eine Bijektion zwischen der Menge der Matrizen und der Menge der linearen Abbildungen dar. Das Matrixprodukt geht hierbei über in die Komposition (Hintereinanderausführung) linearer Abbildungen. Weil die Klammerung bei der Hintereinanderausführung dreier linearer Abbildungen keine Rolle spielt, gilt dies dann auch für die Matrixmultiplikation, diese ist also assoziativ.

Ist sogar ein Körper, kann man statt der Spaltenvektorräume beliebige endlichdimensionale -Vektorräume und (der Dimension bzw. ) betrachten. (Falls ein kommutativer Ring mit 1 ist, dann kann man analog freie K-Moduln betrachten.) Diese sind nach Wahl von Basen von und von zu den Koordinatenräumen bzw. isomorph, weil zu einem beliebigen Vektor eine eindeutige Zerlegung in Basisvektoren

existiert und die darin vorkommenden Körperelemente den Koordinatenvektor

bilden. Jedoch hängt der Koordinatenvektor von der verwendeten Basis ab, die daher auch in der Bezeichnung vorkommt.

Analog verhält es sich im Vektorraum Ist eine lineare Abbildung gegeben, so lassen sich die Bilder der Basisvektoren von eindeutig in die Basisvektoren von zerlegen in der Form

mit Koordinatenvektor

Die Abbildung ist dann vollständig festgelegt durch die sog. Abbildungsmatrix

denn für das Bild des o. g. Vektors gilt

also („Koordinatenvektor = Matrix mal Koordinatenvektor“). (Die Matrix hängt von den verwendeten Basen und ab; bei der Multiplikation wird die Basis , die links und rechts vom Malpunkt steht, „weggekürzt“, und die „außen“ stehende Basis bleibt übrig.)

Die Hintereinanderausführung zweier linearer Abbildungen und (mit Basen , bzw. ) entspricht dabei der Matrixmultiplikation, also

(auch hier wird die Basis „weggekürzt“).

Somit ist die Menge der linearen Abbildungen von nach wieder isomorph zu Der Isomorphismus hängt aber von den gewählten Basen und ab und ist daher nicht kanonisch: Bei Wahl einer anderen Basis für bzw. für wird derselben linearen Abbildung nämlich eine andere Matrix zugeordnet, die aus der alten durch Multiplikation von rechts bzw. links mit einer nur von den beteiligten Basen abhängigen invertierbaren - bzw. -Matrix (sog. Basiswechselmatrix) entsteht. Das folgt durch zweimalige Anwendung der Multiplikationsregel aus dem vorigen Absatz, nämlich

(„Matrix = Basiswechselmatrix mal Matrix mal Basiswechselmatrix“). Dabei bilden die Identitätsabbildungen und jeden Vektor aus bzw. auf sich selbst ab.

Bleibt eine Eigenschaft von Matrizen unberührt von solchen Basiswechseln, so ist es sinnvoll, diese Eigenschaft auch basisunabhängig der entsprechenden linearen Abbildung zuzusprechen.

Im Zusammenhang mit Matrizen oft auftretende Begriffe sind der Rang und die Determinante einer Matrix. Der Rang ist (falls ein Körper ist) im angeführten Sinne basisunabhängig, und man kann somit vom Rang auch bei linearen Abbildungen sprechen. Die Determinante ist nur für quadratische Matrizen definiert, die dem Fall entsprechen; sie bleibt unverändert, wenn derselbe Basiswechsel im Definitions- und Wertebereich durchgeführt wird, wobei beide Basiswechselmatrizen zueinander invers sind:

In diesem Sinne ist also auch die Determinante basisunabhängig.

Umformen von Matrizengleichungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Speziell in den multivariaten Verfahren werden häufig Beweisführungen, Herleitungen usw. im Matrizenkalkül durchgeführt.

Gleichungen werden im Prinzip wie algebraische Gleichungen umgeformt, wobei jedoch die Nichtkommutativität der Matrixmultiplikation sowie die Existenz von Nullteilern beachtet werden muss.

Beispiel: Lineares Gleichungssystem als einfache Umformung

Gesucht ist der Lösungsvektor eines linearen Gleichungssystems

mit als -Koeffizientenmatrix. Wenn die inverse Matrix existiert, kann man mit ihr von links multiplizieren:

und man erhält als Lösung

Spezielle Matrizen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eigenschaften von Endomorphismen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die folgenden Eigenschaften quadratischer Matrizen entsprechen Eigenschaften von Endomorphismen, die durch sie dargestellt werden.

Orthogonale Matrizen
Eine reelle Matrix ist orthogonal, wenn die zugehörige lineare Abbildung das Standardskalarprodukt erhält, das heißt, wenn
gilt. Diese Bedingung ist äquivalent dazu, dass die Gleichung
bzw.
erfüllt.
Diese Matrizen stellen Spiegelungen, Drehungen und Drehspiegelungen dar.
Unitäre Matrizen
Sie sind das komplexe Gegenstück zu den orthogonalen Matrizen. Eine komplexe Matrix ist unitär, wenn die zugehörige Transformation die Normierung erhält, das heißt, wenn
gilt. Diese Bedingung ist äquivalent dazu, dass die Gleichung
erfüllt; dabei bezeichnet die konjugiert-transponierte Matrix zu
Fasst man den -dimensionalen komplexen Vektorraum als -dimensionalen reellen Vektorraum auf, so entsprechen die unitären Matrizen genau denjenigen orthogonalen Matrizen, die mit der Multiplikation mit vertauschen.
Projektionsmatrizen
Eine Matrix ist eine Projektionsmatrix, falls
gilt, sie also idempotent ist, das heißt, die mehrfache Anwendung einer Projektionsmatrix auf einen Vektor lässt das Resultat unverändert. Eine idempotente Matrix hat keinen vollen Rang, es sei denn, sie ist die Einheitsmatrix. Geometrisch entsprechen Projektionsmatrizen der Parallelprojektion entlang des Nullraumes der Matrix. Steht der Nullraum senkrecht auf dem Bildraum, so erhält man eine Orthogonalprojektion.
Beispiel: Es sei eine -Matrix und damit selbst nicht invertierbar, dann ist die -Matrix
idempotent. Diese Matrix wird beispielsweise in der Methode der kleinsten Quadrate verwendet.
Nilpotente Matrizen
Eine Matrix heißt nilpotent, falls eine Potenz (und damit auch jede höhere Potenz) die Nullmatrix ergibt.

Eigenschaften von Bilinearformen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Folgenden sind Eigenschaften von Matrizen aufgelistet, die Eigenschaften der zugehörigen Bilinearform

entsprechen. Trotzdem können diese Eigenschaften auch für die dargestellten Endomorphismen eine eigenständige Bedeutung besitzen.

Symmetrische Matrizen 
Eine Matrix heißt symmetrisch, wenn sie gleich ihrer transponierten Matrix ist:
Anschaulich gesprochen sind die Einträge symmetrischer Matrizen symmetrisch zur Hauptdiagonalen.
Beispiel:
Symmetrische Matrizen entsprechen einerseits symmetrischen Bilinearformen:
andererseits den selbstadjungierten linearen Abbildungen:
Hermitesche Matrizen
Hermitesche Matrizen sind das komplexe Analogon der symmetrischen Matrizen. Sie entsprechen den hermiteschen Sesquilinearformen und den selbstadjungierten Endomorphismen.
Eine Matrix ist hermitesch oder selbstadjungiert, wenn gilt:
Schiefsymmetrische Matrizen
Eine Matrix heißt schiefsymmetrisch oder auch antisymmetrisch, wenn gilt:
Um diese Bedingung zu erfüllen, müssen alle Einträge der Hauptdiagonale den Wert Null haben; die restlichen Werte werden an der Hauptdiagonale gespiegelt und mit multipliziert.
Beispiel:
Schiefsymmetrische Matrizen entsprechen antisymmetrischen Bilinearformen:
und antiselbstadjungierten Endomorphismen:
Positiv definite Matrizen
Eine reelle Matrix ist positiv definit, wenn die zugehörige Bilinearform positiv definit ist, das heißt, wenn für alle Vektoren gilt:
Positiv definite Matrizen definieren verallgemeinerte Skalarprodukte. Hat die Bilinearform keine negativen Werte, heißt die Matrix positiv semidefinit. Analog kann eine Matrix negativ definit beziehungsweise negativ semidefinit heißen, wenn die obige Bilinearform nur negative beziehungsweise keine positiven Werte hat. Matrizen, die keine dieser Eigenschaften erfüllen, heißen indefinit.

Weitere Konstruktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Konjugierte und adjungierte Matrix

Enthält eine Matrix komplexe Zahlen, erhält man die konjugierte Matrix, indem man ihre Komponenten durch die konjugiert komplexen Elemente ersetzt. Die adjungierte Matrix (auch hermitesch konjugierte Matrix) einer Matrix wird mit bezeichnet und entspricht der transponierten Matrix, bei der zusätzlich alle Elemente komplex konjugiert werden.

Adjunkte oder komplementäre Matrix

Die komplementäre Matrix einer quadratischen Matrix setzt sich aus deren Unterdeterminanten zusammen, wobei eine Unterdeterminante auch Minor genannt wird. Für die Ermittlung der Unterdeterminanten werden die -te Zeile und -te Spalte von gestrichen. Aus der resultierenden -Matrix wird dann die Determinante berechnet. Die komplementäre Matrix hat dann die Einträge Diese Matrix wird manchmal auch als Matrix der Kofaktoren bezeichnet.

Man verwendet die komplementäre Matrix beispielsweise zur Berechnung der Inversen einer Matrix , denn nach dem Laplaceschen Entwicklungssatz gilt
Damit ist die Inverse wenn
Übergangs- oder stochastische Matrizen

Eine Übergangs- oder stochastische Matrix ist eine Matrix, deren Einträge alle zwischen 0 und 1 liegen und deren Zeilen bzw. Spaltensummen 1 ergeben. Sie dienen in der Stochastik zur Charakterisierung zeitlich diskreter Markow-Ketten mit endlichem Zustandsraum. Ein Spezialfall hiervon sind die doppelt-stochastischen Matrizen.

Unendlichdimensionale Räume[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Auch für unendlichdimensionale Vektorräume (sogar über Schiefkörpern) gilt, dass jede lineare Abbildung eindeutig durch die Bilder der Elemente einer Basis bestimmt ist und diese beliebig gewählt werden und zu einer linearen Abbildung auf ganz fortgesetzt werden können. Ist nun eine Basis von , so lässt sich eindeutig als (endliche) Linearkombination von Basisvektoren schreiben, d. h. es existieren eindeutige Koeffizienten für , von denen nur endlich viele von null verschieden sind, sodass . Dementsprechend lässt sich jede lineare Abbildung als möglicherweise unendliche Matrix auffassen, wobei jedoch in jeder Spalte ( „nummeriere“ die Spalten und die Spalte zu bestehe dann aus den von den Elementen von nummerierten Koordinaten ) nur endlich viele Einträge von null verschieden sind, und umgekehrt. Die entsprechend definierte Matrixmultiplikation entspricht wiederum der Komposition linearer Abbildungen.

In der Funktionalanalysis betrachtet man topologische Vektorräume, d. h. Vektorräume, auf denen man von Konvergenz sprechen kann und dementsprechend auch unendliche Summen bilden kann. Auf solchen können dementsprechend auch Matrizen mit unendlich vielen von null verschiedenen Einträgen in einer Spalte unter Umständen als lineare Abbildungen verstanden werden, wobei dabei auch andere Basis-Begriffe zugrunde liegen.

Einen speziellen Fall bilden Hilberträume. Seien also Hilberträume und Orthonormalbasen von bzw. . Dann erhält man eine Matrixdarstellung eines linearen Operators (für lediglich dicht definierte Operatoren funktioniert es ebenso, falls der Definitionsbereich eine Orthonormalbasis besitzt, was im abzählbardimensionalen Fall stets zutrifft), indem man die Matrixelemente definiert; dabei ist das Skalarprodukt im betrachteten Hilbertraum (im komplexen Fall semilinear im ersten Argument).

Dieses sogenannte Hilbert-Schmidt-Skalarprodukt lässt sich im unendlichdimensionalen Fall nur noch für eine bestimmte Teilklasse von linearen Operatoren, die sogenannten Hilbert-Schmidt-Operatoren, definieren, bei denen die Reihe, über die dieses Skalarprodukt definiert ist, stets konvergiert.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Wiktionary: Matrix – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
 Commons: Matrix – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
  • Matrizen-Rechner - Rechner, der Rechenoperationen für Matrizen mit konkreten Zahlenwerten, aber auch mit Variablen durchführt
  • The Matrix Cookbook – Eine englischsprachige, umfangreiche Matrix-Formelsammlung (PDF; 522 kB)