Maurer-Cartan-Form

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Die Maurer-Cartan-Form ist eine in Differentialgeometrie und Mathematischer Physik häufig verwendete Lie-Algebra-wertige Differentialform auf Lie-Gruppen. Sie ist benannt nach dem deutschen Mathematiker und Hochschullehrer Ludwig Maurer und dem französischen Mathematiker Élie Cartan.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine Lie-Gruppe, ihre Lie-Algebra. Für induziert die Links-Multiplikation

das Differential

.

Die Maurer-Cartan-Form ist definiert durch

für .[1]

Maurer-Cartan-Gleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Maurer-Cartan-Form erfüllt die Gleichung

.

Hierbei ist der Kommutator Lie-algebra-wertiger Differentialformen durch

und die äußere Ableitung durch

definiert.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Jeffrey M. Lee: Manifolds and differential geometry. American Mathematical Society, Providence, R.I. 2009, ISBN 0-8218-4815-1, Chapter: 5.6 The Maurer Cartan Form.