Mehrdimensionale Normalverteilung

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Die mehrdimensionale oder multivariate Normalverteilung ist ein Typ multivariater Wahrscheinlichkeitsverteilungen und stellt eine Verallgemeinerung der (eindimensionalen) Normalverteilung auf mehrere Dimensionen dar.[1] Eine zweidimensionale Normalverteilung wird auch bivariate Normalverteilung genannt.

Bestimmt wird eine multivariate Normalverteilung durch zwei Verteilungsparameter – den Vektor der Erwartungswerte der eindimensionalen Komponenten und durch die Kovarianzmatrix , welche den Parametern und der eindimensionalen Normalverteilungen entsprechen.

Multivariat normalverteilte Zufallsvariablen treten als Grenzwerte bestimmter Summen unabhängiger mehrdimensionaler Zufallsvariablen auf. Dies ist die Übertragung des zentralen Grenzwertsatz auf den mehrdimensionalen Fall.

Weil sie entsprechend dort auftreten, wo mehrdimensionale zufällige Größen als Überlagerung vieler voneinander unabhängiger Einzeleffekte angesehen werden können, haben sie für die Praxis eine große Bedeutung.

Aufgrund der sogenannten Reproduktionseigenschaft der multivariaten Normalverteilung lässt sich die Verteilung von Summen (und Linearkombinationen) multivariat normalverteiler Zufallsvariabler konkret angeben, was auf dem Gebiet der multivariaten Statistik eine Rolle spielt.

Die multivariate Normalverteilung: allgemeiner Fall[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

10000 Stichproben einer zweidimensionalen Normalverteilung mit , und ρ = 0.7

Eine -dimensionale reelle Zufallsvariable ist normalverteilt mit Erwartungswertvektor und (positiv definiter) Kovarianzmatrix , wenn sie eine Dichtefunktion der Form

besitzt. Man schreibt

Für die zugehörige Verteilungsfunktion gibt es keine geschlossene Formel. Die entsprechenden Integrale müssen numerisch berechnet werden.

Der Wert im Exponentialteil der Dichtefunktion entspricht der Mahalanobis-Distanz, welche die Distanz vom Testpunkt zum Mittelwert darstellt. Im Vergleich mit der Dichtefunktion der eindimensionalen Normalverteilung spielt bei der multivariaten Normalverteilung die Rolle von .

Die multivariate Normalverteilung hat die folgenden Eigenschaften:

  • Die affine Transformation mit einer Matrix (mit ) und ist -dimensional normalverteilt: . Dies gilt aber nach der hier gegebenen Definition nur, wenn nicht-singulär ist, also eine nicht-verschwindende Determinante hat.
  • Die affine Transformation
standardisiert den Zufallsvektor : es ist (mit Einheitsmatrix E).
  • kann auch eine singuläre Kovarianzmatrix besitzen. Man spricht dann von einer degenerierten oder singulären multivariaten Normalverteilung. In diesem Fall existiert keine Dichtefunktion.
  • Bedingte Verteilung bei partieller Kenntnis des Zufallsvektors: Bedingt man einen multivariat normal verteilten Zufallsvektor auf einen Teilvektor, so ist das Ergebnis selbst wieder multivariat normal verteilt, für
gilt
,
insbesondere hängt der Erwartungswert linear vom Wert von ab und die Varianz ist unabhängig vom Wert von .

Die Randverteilung der multivariaten Normalverteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bivariate Normalverteilung mit Randverteilungen

Sei multivariat normalverteilt. Für eine beliebige Partition mit und , , gilt, dass die Randverteilungen und (multivariate) Normalverteilungen sind.

Die Umkehrung gilt allerdings nicht, wie folgendes Beispiel zeigt:

Sei und sei definiert durch

wobei . Dann ist ebenso und

Demnach ist die Kovarianz (und damit die Korrelation) von und gleich genau dann, wenn . Aber und sind nach Definition nicht unabhängig, da immer gleich ist. Daher ist insbesondere nicht multivariat normalverteilt.

Die p-dimensionale Standardnormalverteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Dichte der zweidimensionalen Standardnormalverteilung

Das Wahrscheinlichkeitsmaß auf , das durch die Dichtefunktion

definiert wird, heißt Standardnormalverteilung der Dimension . Die -dimensionale Standardnormalverteilung ist abgesehen von Translationen (d. h. Erwartungswert ) die einzige multivariate Verteilung, deren Komponenten stochastisch unabhängig sind und deren Dichte zugleich rotationssymmetrisch ist.

Dichte der zweidimensionalen Normalverteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Dichtefunktion der zweidimensionalen Normalverteilung mit Mittelwert = (0,0), und Korrelationskoeffizient ist

Jeweils 10.000 Stichproben zweidimensionaler Normalverteilungen mit ρ = -0.8, 0, 0.8 (alle Varianzen sind 1).

Im allgemeineren zweidimensionalen Fall mit Mittelwert = (0,0) und beliebigen Varianzen ist die Dichtefunktion

und den allgemeinsten Fall mit Mittelwert = bekommt man durch Translation (ersetze durch und durch ).

Beispiel für eine multivariate Normalverteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Betrachtet wird eine Apfelbaumplantage mit sehr vielen gleich alten, also vergleichbaren Apfelbäumen. Man interessiert sich für die Merkmale Größe der Apfelbäume, die Zahl der Blätter und die Erträge. Es werden also die Zufallsvariablen definiert:

: Höhe eines Baumes [m]; : Ertrag [100 kg]; : Zahl der Blätter [1000 Stück].

Die Variablen sind jeweils normalverteilt wie

Die meisten Bäume sind also um 4 ± 1m groß, sehr kleine oder sehr große Bäume sind eher selten. Bei einem großen Baum ist der Ertrag tendenziell größer als bei einem kleinen Baum, aber es gibt natürlich hin und wieder einen großen Baum mit wenig Ertrag. Ertrag und Größe sind korreliert, die Kovarianz beträgt und der Korrelationskoeffizient .

Ebenso ist mit dem Korrelationskoeffizienten , und mit dem Korrelationskoeffizienten .

Fasst man die drei Zufallsvariablen im Zufallsvektor zusammen, ist multivariat normalverteilt. Dies gilt allerdings nicht im Allgemeinen (vgl. Die Randverteilung der multivariaten Normalverteilung). Im vorliegenden Fall gilt dann für die gemeinsame Verteilung von

und

Die entsprechende Korrelationsmatrix ist

Stichproben bei multivariaten Verteilungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Realität werden in aller Regel die Verteilungsparameter einer multivariaten Verteilung nicht bekannt sein. Diese Parameter müssen also geschätzt werden.

Man zieht eine Stichprobe vom Umfang . Jede Realisation des Zufallsvektors könnte man als Punkt in einem -dimensionalen Hyperraum auffassen. Man erhält so die -Datenmatrix als

die in jeder Zeile die Koordinaten eines Punktes enthält.

Der Erwartungswertvektor wird geschätzt durch den Mittelwertvektor der arithmetischen Mitteln der Spalten von

mit den Komponenten

Für die Schätzung der Kovarianzmatrix erweist sich die bezüglich der arithmetischen Mittelwerte zentrierte Datenmatrix als nützlich. Sie berechnet sich als

mit den Elementen , wobei den Einsvektor, einen Spaltenvektor der Länge mit lauter Einsen, darstellt. Es wird also bei allen Einträgen das arithmetische Mittel der zugehörigen Spalte subtrahiert.

Die -Kovarianzmatrix hat die geschätzten Komponenten

Sie ergibt sich als

Die Korrelationsmatrix wird geschätzt durch die paarweisen Korrelationskoeffizienten

auf ihrer Hauptdiagonalen stehen Einsen.

Beispiel zu Stichproben[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es wurden 10 Apfelbäume zufällig ausgewählt und jeweils 3 Eigenschaften gemessen: : Höhe eines Baumes [m]; : Ertrag [100 kg]; : Zahl der Blätter [1000 Stück]. Diese 10 Beobachtungen werden in der Datenmatrix zusammengefasst:

Die Mittelwerte berechnen sich, wie beispielhaft an gezeigt, als

Sie ergeben den Mittelwertvektor

Für die zentrierte Datenmatrix erhält man die zentrierten Beobachtungen, indem von den Spalten der entsprechende Mittelwert abzogen wird:

also

Man berechnet für die Kovarianzmatrix die Kovarianzen, wie im Beispiel,

und entsprechend die Varianzen

so dass sich die Kovarianzmatrix

ergibt.

Entsprechend erhält man für die Korrelationsmatrix zum Beispiel

bzw. insgesamt

Erzeugung mehrdimensionaler, normalverteilter Zufallszahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine oft verwendete Methode zur Erzeugung eines Zufallsvektors einer -dimensionalen Normalverteilung mit Mittelwertvektor und (symmetrischer und positiv definiter) Kovarianzmatrix kann wie folgt angegeben werden:

  1. Bestimme eine Matrix , so dass . Dazu kann die Cholesky-Zerlegung von oder eine Quadratwurzel von verwendet werden.
  2. Sei ein Vektor, dessen Komponenten stochastisch unabhängige, standardnormalverteilte Zufallszahlen sind. Diese können beispielsweise mit Hilfe der Box-Muller-Methode generiert werden.
  3. Mit der affinen Transformation ergibt sich die gewünschte -dimensionale Normalverteilung.

Anmerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Mehrdimensionale und multivariate Normalverteilung werden in diesem Artikel synonym verwendet. Bei Hartung/Elpelt: Multivariate Statistik haben sie aber (in Kapitel 1, Abschnitt 5) unterschiedliche Bedeutungen: hier ist die multivariate Normalverteilung eine Matrix-Verteilung.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Mardia, KV, Kent, JT, Bibby, JM: Multivariate Analysis, New York 1979
  • Fahrmeir, Ludwig, Hamerle, Alfred, Tutz, Gerhard (Hrsg): Multivariate statistische Verfahren, New York 1996
  • Hartung, Joachim, Elpelt, Bärbel: Multivariate Statistik, München, Wien 1999
  • Flury, Bernhard, A first course in multivariate statistics, New York, 1997.