Merkwürdige Zahl

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In der Mathematik bezeichnet man eine natürliche Zahl n als merkwürdige Zahl, wenn sie folgende beiden Eigenschaften erfüllt:

  • Sie ist eine abundante Zahl. Die Summe ihrer echten Teiler (aller Teiler außer der Zahl n selbst) ist also größer als die Zahl n selbst (für die Teilersummenfunktion gilt somit bzw. ).
  • Sie ist keine pseudovollkommene Zahl, das heißt, sie lässt sich nicht als Summe einiger verschiedener echter Teiler darstellen.

Mit anderen Worten:

Die Summe der echten Teiler (inklusive 1, aber ohne n) muss größer als die Zahl n sein, es darf aber keine Teilmenge dieser Teiler als Summe die Zahl n ergeben.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beispiel 1: Die Zahl 70 hat die echten Teiler 1, 2, 5, 7, 10, 14 und 35. Ihre echte Teilersumme ist also 1+2+5+7+10+14+35=74 > 70 und die Zahl somit abundant. Man kann aber aus den Zahlen 1, 2, 5, 7, 10, 14 und 35 niemals eine Summe so bilden, dass die Zahl 70 herauskommt. Somit ist die Zahl 70 eine merkwürdige Zahl.

Beispiel 2: Die Zahl 72 hat die echten Teiler 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24 und 36. Ihre echte Teilersumme ist also 1+2+3+4+6+8+9+12+18+24+36=123 > 72 und die Zahl somit ebenfalls abundant. Man kann aber aus den Zahlen 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24 und 36 durchaus eine Summe so bilden, dass die Zahl 72 herauskommt, nämlich 12+24+36=72 (oder auch 2+4+6+24+36=72, und es gibt noch andere Möglichkeiten). Somit ist die Zahl 72 keine merkwürdige Zahl.

Beispiel 3: Die Zahl 74 hat die echten Teiler 1, 2 und 37. Ihre echte Teilersumme ist also 1+2+37=40 < 74 und die Zahl somit defizient und nicht abundant. Also erfüllt 74 nicht einmal die erste Eigenschaft und ist folglich keine merkwürdige Zahl.

Die ersten merkwürdigen Zahlen sind die folgenden:

70, 836, 4030, 5830, 7192, 7912, 9272, 10430, 10570, 10792, 10990, 11410, 11690, 12110, 12530, 12670, 13370, 13510, 13790, 13930, 14770, 15610, 15890, 16030, 16310, 16730, 16870, 17272, 17570, 17990, 18410, 18830, 18970, 19390, 19670, … Folge A006037 in OEIS

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Es gibt unendlich viele merkwürdige Zahlen.[1]
  • Sei eine positive ganze Zahl, eine Primzahl mit und ebenfalls eine Primzahl mit . Dann gilt:
ist eine merkwürdige Zahl.[2]
(mit dieser Formel hat er die große merkwürdige Zahl gefunden)
  • Sei eine merkwürdige Zahl und eine Primzahl mit , es sei also p größer als die Summe aller Teiler von (inklusive selbst). Dann gilt:
ist eine merkwürdige Zahl.[3]
Beispiel 1:
Sei eine merkwürdige Zahl (mit ) und . Dann ist tatsächlich eine merkwürdige Zahl.
Beispiel 2:
Sei eine merkwürdige Zahl (mit ) und . Dann ist tatsächlich eine merkwürdige Zahl.
Daraus ergibt sich folgende Definition: Eine Zahl heißt primitive merkwürdige Zahl, wenn sie kein Vielfaches einer anderen merkwürdigen Zahl ist.
Die ersten primitiven merkwürdigen Zahlen sind die folgenden:
70, 836, 4030, 5830, 7192, 7912, 9272, 10792, 17272, 45356, 73616, 83312, 91388, 113072, 243892, 254012, 338572, 343876, 388076, 519712, 539744, 555616, 682592, 786208, 1188256, 1229152, 1713592, 1901728, 2081824, 2189024, 3963968, 4128448, … Folge A002975 in OEIS
Es gibt nur 24 primitive merkwürdige Zahlen, die kleiner als eine Million sind (es gibt aber 1765 merkwürdige Zahlen, die kleiner als eine Million sind).

Ungelöste Probleme[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Gibt es ungerade merkwürdige Zahlen? Wenn ja, dann muss sie sein.[4][5]
  • Gibt es unendlich viele primitive merkwürdige Zahlen? Es wurde von Giuseppe Melfi schon gezeigt, dass wenn Cramér's Vermutung (en) stimmt, dass daraus folgt, dass es unendlich viele primitive merkwürdige Zahlen gibt.[6]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. József Sándor, Dragoslav Mitrinović, Borislav Crstici: Handbook of Number Theory I. 2. Auflage. Springer-Verlag, Dordrecht 2006, ISBN 1-4020-4215-9, S. 113–114.
  2. Sidney Kravitz: A search for large weird numbers. In: Journal of Recreational Mathematics. Band 9, 1976, S. 82–85.
  3. S. J. Benkoski, Paul Erdős: On Weird and Pseudoperfect Numbers. In: Mathematics of Computation. Band 28, 1974, S. 617–623.
  4. Neil Sloane: Weird numbers: abundant but not pseudoperfect - Comments. Abgerufen am 24. Mai 2018.
  5. Odd Weird Search. rechenkraft.net, abgerufen am 25. Mai 2018.
  6. Giuseppe Melfi: On the conditional infiniteness of primitive weird numbers. In: Journal of Number Theory. Band 147, 2015, S. 508–514.