Meromorphe Funktion

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Meromorphie ist eine Eigenschaft von bestimmten komplexwertigen Funktionen, die in der Funktionentheorie (einem Teilgebiet der Mathematik) behandelt werden.

Für viele Fragestellungen der Funktionentheorie ist der Begriff der holomorphen Funktion zu speziell. Dies liegt daran, dass der Kehrwert einer holomorphen Funktion an einer Nullstelle von eine Definitionslücke hat und somit dort auch nicht komplex differenzierbar ist. Man führt daher den allgemeineren Begriff der meromorphen Funktion ein, die auch isolierte Polstellen besitzen kann.

Meromorphe Funktionen lassen sich lokal als Laurentreihen mit abbrechendem Hauptteil darstellen. Ist ein Gebiet von , so bildet die Menge der auf meromorphen Funktionen einen Körper.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Auf dem Körper der komplexen Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei eine nichtleere offene Teilmenge der Menge der komplexen Zahlen und eine weitere Teilmenge von , die nur aus isolierten Punkten besteht. Eine Funktion heißt meromorph, wenn sie für Werte aus definiert und holomorph ist und für Werte aus Pole hat. wird als Polstellenmenge von bezeichnet.

Auf einer riemannschen Fläche[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine riemannsche Fläche und eine offene Teilmenge von . Unter einer meromorphen Funktion auf verstehen wir eine holomorphe Funktion , wobei eine offene Teilmenge ist, so dass die folgenden Eigenschaften gelten:

  • Die Menge hat nur isolierte Punkte.
  • Für jeden Punkt gilt
.

Die Punkte aus der Menge werden Pole von genannt. Die Menge aller meromorphen Funktionen auf wird mit bezeichnet und bildet, falls zusammenhängend ist, einen Körper. Diese Definition ist natürlich äquivalent zur Definition auf den komplexen Zahlen, falls eine Teilmenge derer ist.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Alle holomorphen Funktionen sind auch meromorph, da ihre Polstellenmenge jeweils leer ist.
  • Die Kehrwertfunktion ist meromorph; ihre Polstellenmenge ist . Allgemeiner sind alle rationalen Funktionen
meromorph. Die Polstellenmenge ist hier jeweils eine Teilmenge der Nullstellenmenge des Nennerpolynoms.
  • Für jede meromorphe Funktion ist ihr Kehrwert ebenfalls meromorph.
  • Die Funktion ist nicht auf ganz (und auf keiner Umgebung von ) meromorph, da keine Polstelle, sondern eine wesentliche Singularität dieser Funktion ist.

Wichtige Sätze über meromorphe Funktionen sind: Satz von Mittag-Leffler, Residuensatz, Satz von Riemann-Roch.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]