Messraum (Mathematik)

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Messraum oder auch messbarer Raum ist ein Begriff der Maßtheorie, einem Teilbereich der Mathematik, der sich mit der Verallgemeinerung von Volumenbegriffen beschäftigt. Messräume bilden hier ein Analogon zum Definitionsbereich, sie geben an, über welche Mengen eine Aussage getroffen werden kann.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Tupel heißt Messraum oder messbarer Raum, wenn

  • eine beliebige Grundmenge ist und
  • eine σ-Algebra auf dieser Grundmenge ist.

In der Stochastik werden Messräume auch Ereignisräume genannt.[1] Eine Menge heißt messbare Menge, wenn ist.

Abgrenzung zu anderen Messbarkeitsbegriffen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wichtig für den hier verwendeten Begriff einer messbaren Menge ist, dass dafür kein Maß definiert sein muss, sondern nur ein Messraum. Daher spricht man auch teilweise von Messbarkeit bezüglich eines Messraumes.

Davon abzugrenzen ist die Messbarkeit nach Carathéodory von Mengen bezüglich eines äußeren Maßes. Auch hier wird kein Maß benötigt, sondern nur ein äußeres Maß.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Betrachtet man als Beispiel den Grundraum

und definiert darauf die zwei σ-Algebren

, also die Potenzmenge von , und
,

dann sind und Messräume, aber die Menge ist nur messbar bezüglich und nicht bezüglich .

Allgemein bildet jede Menge mit ihrer Potenzmenge einen Messraum. Besonders in der Wahrscheinlichkeitstheorie verwendet man häufig den Messraum der borelschen σ-Algebra.

Isomorphie von Messräumen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zwei Messräume und heißen isomorph, wenn es eine bijektive Funktion von nach gibt, die --messbar ist und deren Umkehrabbildung --messbar ist.

Klassen von Messräumen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Borel’sche Räume[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Messraum heißt ein Borel’scher Raum oder Borel-Raum, wenn es eine messbare Menge gibt, so dass und Borel-isomorph sind.

Entscheidungsräume[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Entscheidungsraum ist ein Messraum, bei dem die σ-Algebra alle einelementigen Mengen enthält, wenn also für jedes die Menge ist. ist beispielsweise ein Entscheidungsraum.

Separierte Messräume[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Messraum heißt ein separierter Messraum, wenn die Menge von Funktionen

eine punktetrennende Menge auf ist. Dabei bezeichnet die Charakteristische Funktion der Menge .

Dies ist genau dann der Fall, wenn es für je zwei Punkte eine Menge gibt, so dass aber .

Abzählbar erzeugte Messräume[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Messraum heißt ein abzählbar erzeugter Messraum, wenn die σ-Algebra des Messraumes eine abzählbar erzeugte σ-Algebra ist, also einen abzählbaren Erzeuger besitzt.

Verwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für Messräume gibt es in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Maßtheorie zahlreiche Anwendungen. Einerseits lassen sie sich nach Wahl eines Maßes zu einem Maßraum erweitern, andererseits entsprechen sie dem Wertebereich bei Konstruktion von Bildmaßen mittels messbarer Funktionen.

In der Stochastik werden die Messräume auch teilweise Ereignisraum genannt, die messbaren Mengen heißen dann Ereignisse. Nach Wahl eines Wahrscheinlichkeitsmaßes handelt es sich dann um einen Wahrscheinlichkeitsraum.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 2009, ISBN 978-3-540-89727-9.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, S. 10, doi:10.1515/9783110215274.